Questão 2. Calcule.
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{3^{n}}{5^{n+1}};

Passo 1

O enunciado pede para calcular a soma da série infinita
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{3^{n}}{5^{n+1}}.
Isso é uma série geométrica, e para resolvê-la vamos usar a fórmula da soma de uma progressão geométrica infinita.

Passo 2

Primeiro, fatoramos 1/5 para simplificar a potência no denominador:
\frac{3^{n}}{5^{n+1}} = \frac{1}{5}\,\frac{3^{n}}{5^{n}} = \frac{1}{5}\Bigl(\frac{3}{5}\Bigr)^{n}.
Logo,
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{3^{n}}{5^{n+1}} = \frac{1}{5}\sum_{n=1}^{+\infty}\Bigl(\frac{3}{5}\Bigr)^{n}.

Passo 3

Agora usamos que, para |r|<1,
\sum_{n=1}^{+\infty}r^{n}=\frac{r}{1-r}.
Aqui r=\tfrac{3}{5}, que satisfaz |r|<1. Então
\sum_{n=1}^{+\infty}\Bigl(\frac{3}{5}\Bigr)^{n} =\frac{\tfrac{3}{5}}{1-\tfrac{3}{5}} =\frac{\tfrac{3}{5}}{\tfrac{2}{5}} =\frac{3}{2}.
Multiplicando por \tfrac{1}{5}, obtemos
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{3^{n}}{5^{n+1}} =\frac{1}{5}\cdot\frac{3}{2} =\frac{3}{10}.

Resposta

\displaystyle \frac{3}{10}

Exercícios relacionados