Questão 2. Calcule.
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n+2}-\frac{1}{n+1};

Passo 1

O enunciado pede para calcular a série infinita
\sum_{n=1}^{+\infty}\Bigl(\frac{1}{n+2}-\frac{1}{n+1}\Bigr).
Este é um caso clássico de série telescópica, em que muitos termos se cancelam ao escrever a soma parcial.

Passo 2

Definimos a soma parcial até N como
S_N = \sum_{n=1}^{N}\Bigl(\frac{1}{n+2}-\frac{1}{n+1}\Bigr).
A ideia é escrever estes termos de forma a evidenciar o cancelamento.

Passo 3

Separemos em duas somas e reindexemos:
S_N = \sum_{n=1}^{N}\frac{1}{n+2}\;-\;\sum_{n=1}^{N}\frac{1}{n+1} =\sum_{k=3}^{N+2}\frac{1}{k}\;-\;\sum_{k=2}^{N+1}\frac{1}{k}.
Agora veja que, ao subtrair, todos os termos de k=3 até k=N+1 se cancelam, sobrando
S_N = -\frac{1}{2} \;+\;\frac{1}{N+2}.

Passo 4

Para obter a soma da série infinita, tomamos o limite quando N\to\infty:
\lim_{N\to\infty}S_N =\lim_{N\to\infty}\Bigl(-\frac{1}{2}+\frac{1}{N+2}\Bigr) =-\frac{1}{2}+0 =-\frac{1}{2}.

Resposta

-\tfrac{1}{2}

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