Explique porque as sequintes séries são divergentes:
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{5}{2^{\frac{1}{n}}+14};

Passo 1

O enunciado nos dá a série numérica
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{5}{2^{\frac{1}{n}}+14}
e pede para mostrar que ela é divergente. O conteúdo aqui é o teste da divergência (ou teste do termo geral), que afirma:
“Se \lim_{n\to\infty}a_{n}\neq 0, então \sum a_{n} diverge.”
Para aplicar, precisamos calcular
\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{5}{2^{\frac{1}{n}}+14}.

Passo 2

Calculamos primeiro
\lim_{n\to\infty}2^{\frac{1}{n}}.
Note que 2^{\frac{1}{n}} = e^{\frac{\ln 2}{n}} e
\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{\ln 2}{n}=0,
logo
\lim_{n\to\infty}2^{\frac{1}{n}} = e^0 = 1.
Em seguida, aplicamos isso no termo geral da série:
\lim_{n\to\infty}\frac{5}{2^{\frac{1}{n}}+14} = \frac{5}{\lim_{n\to\infty}2^{\frac{1}{n}} + 14} = \frac{5}{1 + 14} = \frac{5}{15} = \frac{1}{3}.
Como esse limite não é zero, ou seja,
\lim_{n\to\infty}a_{n} = \frac{1}{3}\neq 0,
pelo teste da divergência concluímos que a série não pode convergir.

Resposta

A série diverge, pois o termo geral não tende a zero.

Exercícios relacionados