Questão 4 Calcule a taxa de variação da fúnção f(x, y)=x y na direção normal à curva x^{2}+y^{2}=2 no ponto (1,1).

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)=xy
e a curva de nível
x^{2}+y^{2}=2.
Queremos a taxa de variação de f na direção normal a essa curva no ponto (1,1). Para isso vamos usar o conceito de derivada direcional: a taxa de variação de f na direção de um vetor unitário \mathbf{n} é
D_{\mathbf{n}}f(\,x,y)=\nabla f(x,y)\cdot\mathbf{n}.

Passo 2

Calcular o gradiente de f. Por definição,
\nabla f(x,y)=\bigl(\partial_{x}f,\partial_{y}f\bigr)=(y,x).
No ponto (1,1) isso vale
\nabla f(1,1)=(1,1).

Passo 3

Determinar um vetor normal à curva x^{2}+y^{2}=2. Defina
g(x,y)=x^{2}+y^{2}-2,
então a normal é \nabla g:
\nabla g(x,y)=(2x,2y).
No ponto (1,1) temos \nabla g(1,1)=(2,2). Para obter o vetor unitário \mathbf{n} tomamos
\mathbf{n}=\frac{\nabla g(1,1)}{\|\nabla g(1,1)\|} =\frac{(2,2)}{\sqrt{2^{2}+2^{2}}} =\frac{(2,2)}{\sqrt{8}} =\Bigl(\tfrac{1}{\sqrt{2}},\tfrac{1}{\sqrt{2}}\Bigr).

Passo 4

Calcular a derivada direcional de f na direção \mathbf{n}:
D_{\mathbf{n}}f(1,1) =\nabla f(1,1)\cdot\mathbf{n} =(1,1)\cdot\Bigl(\tfrac{1}{\sqrt{2}},\tfrac{1}{\sqrt{2}}\Bigr) =\frac{1+1}{\sqrt{2}} =\frac{2}{\sqrt{2}} =\sqrt{2}.

Resposta

\sqrt{2}

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