A temperatura em uma placa de metal é dada por T(x, y)=20-4 x^{2}-y^{2}, \operatorname{com} x e y medidos em c m e T \mathrm{em}^{\circ} C.
Descréva e esboce no plano o lugar geométrico dos pontos que possuem a mesma temperatura do ponto (1,2).

Passo 1

O enunciado nos dá o campo de temperatura na placa
T(x,y)=20-4x^{2}-y^{2},
e pede o lugar geométrico dos pontos (x,y) cuja temperatura é igual à de (1,2). Vamos precisar calcular T(1,2) e então resolver a equação T(x,y)=T(1,2).

Passo 2

Calculamos a temperatura no ponto (1,2):
T(1,2)=20-4\cdot(1)^{2}-(2)^{2}=20-4-4=12.

Passo 3

Impondo T(x,y)=12, temos
20-4x^{2}-y^{2}=12
e portanto
4x^{2}+y^{2}=8.

Passo 4

A equação
4x^{2}+y^{2}=8
pode ser escrita como
\frac{x^{2}}{2}+\frac{y^{2}}{8}=1,
que é a forma padrão de uma elipse centrada na origem com semi-eixo em x de \sqrt{2} e semi-eixo em y de \sqrt{8}=2\sqrt{2}. Os interceptos são (\pm\sqrt{2},0) e (0,\pm2\sqrt{2}).

Passo 5

No plano (x,y), o lugar geométrico é essa elipse alongada verticalmente. Num esboço, basta desenhar o centro na origem e marcar os pontos (\pm\sqrt{2},0) e (0,\pm2\sqrt{2}), ligando-os por uma curva fechada suave.

Resposta

O lugar geométrico é a elipse
\frac{x^{2}}{2}+\frac{y^{2}}{8}=1,
isto é, o conjunto \{(x,y)\mid4x^{2}+y^{2}=8\}.

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