Questão 6 Existe uma função
de classe
tal que
e
, para todo
? Justifique.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se existe uma função de classe
em
cuja derivada parcial em
seja
e cuja derivada parcial em
seja
O conteúdo necessário é o teorema de igualdade dos derivados parciais cruzados para funções
.
Passo 2
Pelo teorema de Clairaut, se
é de classe
em
, então
para todo
. Vamos calcular ambos.
Passo 3
Calculemos primeiro
Passo 4
Agora
pois
não depende de
. Para igualdade dos cruzados, precisamos de
Como
e
nem sempre é zero, a única solução é
Passo 5
Quando
temos
Integrando
em relação a
:
Em seguida, impomos
:
Logo
que é de classe
e satisfaz as condições quando
.
Resposta
Existe função de classe
com essas derivadas parciais se, e somente se,
. Nesse caso,