Questão 6 Existe uma função f(x, y) de classe C^{2} tal que f_{x}(x, y)=x e^{r y} e f_{y}(x, y)=y e^{r y}, para todo (x, y) \in \mathbb{R}^{2} ? Justifique.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se existe uma função de classe C^2 em \mathbb{R}^2 cuja derivada parcial em x seja
f_x(x,y)=x e^{r y}
e cuja derivada parcial em y seja
f_y(x,y)=y e^{r y}.
O conteúdo necessário é o teorema de igualdade dos derivados parciais cruzados para funções C^2.

Passo 2

Pelo teorema de Clairaut, se f é de classe C^2 em \mathbb{R}^2, então
f_{xy}(x,y)=f_{yx}(x,y)
para todo (x,y). Vamos calcular ambos.

Passo 3

Calculemos primeiro
f_{xy}(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(f_x(x,y)\bigr) =\frac{\partial}{\partial y}\bigl(xe^{r y}\bigr) =x\cdot r e^{r y} = r x e^{r y}.

Passo 4

Agora
f_{yx}(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(f_y(x,y)\bigr) =\frac{\partial}{\partial x}\bigl(y e^{r y}\bigr) =0,
pois y e^{r y} não depende de x. Para igualdade dos cruzados, precisamos de
r x e^{r y}=0\quad\forall\,x,y.
Como e^{r y}\neq0 e x nem sempre é zero, a única solução é r=0.

Passo 5

Quando r=0 temos
f_x(x,y)=x,\qquad f_y(x,y)=y.
Integrando f_x em relação a x:
f(x,y)=\int x\,dx=\frac{x^2}{2}+h(y).
Em seguida, impomos f_y=y:
\frac{d}{dy}\Bigl(\tfrac{x^2}{2}+h(y)\Bigr)=h'(y)=y \quad\Longrightarrow\quad h(y)=\frac{y^2}{2}+C.
Logo
f(x,y)=\frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{2}+C,
que é de classe C^2 e satisfaz as condições quando r=0.

Resposta

Existe função de classe C^2 com essas derivadas parciais se, e somente se, r=0. Nesse caso,
f(x,y)=\frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{2}+C.

Exercícios relacionados