Questão 1. Calcule todas as derivadas parciais de primeira ordem da função.
z=x e^x y

Passo 1

O enunciado pede para encontrarmos as derivadas parciais de primeira ordem da função
z = x e^x y
O conteúdo principal aqui é derivada parcial, e vamos usar a regra do produto e a regra da cadeia para funções de duas variáveis.

Passo 2

Lembrando que, para uma função z=f(x,y), a derivada parcial em relação a x é
partial zpartial x =limhto0f(x+h,y)-f(x,y)h,
tratando y como constante. Quando f é produto de duas funções de (x,y), aplicamos a regra do produto:
partialpartial x[ucdot v] = partial upartial x,v + u,partial vpartial x
Se aparecer e^g(x,y), usamos a regra da cadeia:
partialpartial xe^g(x,y) =e^g(x,y)cdotpartial gpartial x

Passo 3

Vamos calcular partial zpartial x.
Aqui u(x,y)=x e v(x,y)=e^xy. Então
partial upartial x=1, partial vpartial x =e^xycdotpartial (xy)partial x =e^xycdot y
Aplicando regra do produto:
partial zpartial x =1cdot e^xy + xcdotl(e^xyyr) = e^xy + x y,e^xy = e^xy(1 + x y)

Passo 4

Agora calculamos partial zpartial y.
Desta vez x é tratado como constante e e^xy depende de y via xy. Logo,
partial zpartial y = xcdotpartialpartial ye^xy = xcdotl(e^xycdotpartial (xy)partial yr) = xcdotl(e^xycdot xr) = x^2 e^xy

Resposta

partial zpartial x = e^xy(1 + x y), partial zpartial y = x^2 e^xy

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