(0.5) Se , é solução da edo , utilize o método da redução da ordem para encontrar uma segunda solução da EDO. Verifique se as soluções formam um conjunto fundamental de soluções para EDO acima
Passo 1
O enunciado dá a EDO
e informa que uma solução é . O conteúdo aqui é encontrar uma segunda solução linearmente independente via redução de ordem.
Passo 2
Suponha
Para usar isso, calculamos as derivadas:
Passo 3
Substituindo na EDO e dividindo por , obtemos
Ao agrupar termos em e , nota-se que o coeficiente de some, restando
Passo 4
Defina . Então a equação vira
Isso é linear de primeira ordem, com solução
Passo 5
Tomando para achar uma primitiva,
Fazendo integração por partes ou reconhecendo forma padrão, chega-se a
Passo 6
Logo
Como só interessa uma solução não nula, escolhemos
Passo 7
Para verificar independência, calculemos o Wronskiano:
Como para t > 1 temos e^t(1-t) neq 0, as soluções são linearmente independentes.]
Resposta
A segunda solução é y2(t)=t, e y1,y2=e^t,t forma um conjunto fundamental.