(0.5) Se y1(t)=e^t, t>0, é solução da edo (t-1) y^prime prime-t y^prime+y=0, t>1, utilize o método da redução da ordem para encontrar uma segunda solução y2(t) da EDO. Verifique se as soluções y1, y2 formam um conjunto fundamental de soluções para EDO acima

Passo 1

O enunciado dá a EDO
(t-1)y'' - t,y' + y = 0, t>1,
e informa que uma solução é y1(t)=e^t. O conteúdo aqui é encontrar uma segunda solução linearmente independente via redução de ordem.

Passo 2

Suponha
y2(t)=v(t),y1(t)=v(t),e^t
Para usar isso, calculamos as derivadas:
y2' = v',e^t + v,e^t = e^t(v'+v),
y2'' = l(v''+2v'+vr)e^t

Passo 3

Substituindo y2,y2',y2'' na EDO e dividindo por e^t, obtemos
(t-1)l(v''+2v'+vr) - t,(v'+v) + v = 0
Ao agrupar termos em v'',v' e v, nota-se que o coeficiente de v some, restando
(t-1),v'' + (t-2),v' = 0

Passo 4

Defina w=v'. Então a equação vira
w' + t-2t-1,w = 0
Isso é linear de primeira ordem, com solução
ln w = -integralt-2t-1,dt = -l(t - ln|t-1|r) + C Longrightarrow w=v' = C,e^-t(t-1)

Passo 5

Tomando C=1 para achar uma primitiva,
v = integral v',dt = integral e^-t(t-1),dt
Fazendo integração por partes ou reconhecendo forma padrão, chega-se a
v = -t,e^-t

Passo 6

Logo
y2(t) = v,e^t = l(-t,e^-tr)e^t = -t
Como só interessa uma solução não nula, escolhemos
y2(t)=t

Passo 7

Para verificar independência, calculemos o Wronskiano:
W(y1,y2)(t) = e^t & t [6pt] e^t & 1 = e^tcdot 1 - t cdot e^t = e^t(1-t)
Como para t > 1 temos e^t(1-t) neq 0, as soluções são linearmente independentes.]

Resposta

A segunda solução é y2(t)=t, e y1,y2=e^t,t forma um conjunto fundamental.

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