Questão 1 - Calcule a Transformada de Fourier em Tempo Discreto para as sequências a seguir
x[n]=e^{j(3 \pi n / 10-\pi / 10)}(1 / 3)^{n} u[n];

Passo 1

O enunciado pede para calcular a Transformada de Fourier em Tempo Discreto (DTFT) de
x[n] = e^{j\bigl(\tfrac{3\pi n}{10} - \tfrac{\pi}{10}\bigr)}\bigl(\tfrac13\bigr)^{n}u[n].
O conteúdo envolvido é a DTFT de uma sequência geométrica complexa e a propriedade de modulação em frequência.

Passo 2

Vamos isolar a parte que depende de n. Note que
x[n] = e^{-j\frac{\pi}{10}}\;\bigl(e^{j\frac{3\pi}{10}}\bigr)^{n}\;\bigl(\tfrac13\bigr)^{n}u[n] = e^{-j\frac{\pi}{10}}\;\Bigl(\underbrace{\tfrac13\,e^{j\frac{3\pi}{10}}}_{a}\Bigr)^{n}u[n].
Aqui definimos a = \tfrac13\,e^{j\frac{3\pi}{10}}.

Passo 3

Recordando a DTFT da sequência a^{n}u[n]:
\sum_{n=0}^{\infty}a^{n}e^{-j\omega n} = \frac{1}{1 - a\,e^{-j\omega}}, \quad\text{para }|a|<1.

Passo 4

Aplicando isso a x[n], que tem um fator constante e^{-j\frac\pi{10}}, obtemos
X(e^{j\omega}) = \sum_{n=0}^{\infty}x[n]\,e^{-j\omega n} = e^{-j\frac{\pi}{10}} \sum_{n=0}^{\infty}\!a^{n}e^{-j\omega n} = e^{-j\frac{\pi}{10}}\;\frac{1}{1 - a\,e^{-j\omega}}.

Passo 5

Basta agora substituir a = \tfrac13\,e^{j\frac{3\pi}{10}}. Como \bigl|\tfrac13\,e^{j3\pi/10}\bigr|=1/3<1, a soma converge sempre. Logo
X(e^{j\omega}) = \frac{e^{-j\frac{\pi}{10}}} {1 - \bigl(\tfrac13\,e^{j\frac{3\pi}{10}}\bigr)e^{-j\omega}} = \frac{e^{-j\frac{\pi}{10}}} {1 - \tfrac13\,e^{j\bigl(\frac{3\pi}{10}-\omega\bigr)}}.

Resposta

X(e^{j\omega}) = \frac{e^{-j\frac{\pi}{10}}} {1 - \tfrac13\,e^{j\bigl(\frac{3\pi}{10}-\omega\bigr)}}.

Exercícios relacionados