Questão 1 - Calcule a Transformada de Fourier em Tempo Discreto para as sequências a seguir
x[n]=e^{j(3 \pi n / 8-\pi / 8)} \cos [5 \pi n / 24];

Passo 1

O enunciado pede a Transformada de Fourier em Tempo Discreto (DTFT) de
x[n] = e^{j\bigl(\tfrac{3\pi n}{8} - \tfrac{\pi}{8}\bigr)} \,\cos\!\bigl(\tfrac{5\pi n}{24}\bigr).
Vamos usar a definição
X(e^{j\omega}) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n]\,e^{-j\omega n},
e explorar que produto de exponencial com cosseno pode ser escrito como soma de exponenciais complexas.

Passo 2

Expressamos o cosseno como soma de exponenciais:
\cos\!\bigl(\tfrac{5\pi n}{24}\bigr) = \frac{1}{2}\Bigl(e^{j\frac{5\pi n}{24}} + e^{-j\frac{5\pi n}{24}}\Bigr).
Logo
x[n] = e^{-j\frac{\pi}{8}}\,e^{j\frac{3\pi n}{8}} \;\frac{1}{2}\Bigl(e^{j\frac{5\pi n}{24}} + e^{-j\frac{5\pi n}{24}}\Bigr).

Passo 3

Combinando os expoentes em n, note que
\tfrac{3\pi}{8} = \tfrac{9\pi}{24}. Assim
e^{j\frac{9\pi n}{24}}\,e^{j\frac{5\pi n}{24}} = e^{j\frac{14\pi n}{24}} = e^{j\frac{7\pi n}{12}}, \quad e^{j\frac{9\pi n}{24}}\,e^{-j\frac{5\pi n}{24}} = e^{j\frac{4\pi n}{24}} = e^{j\frac{\pi n}{6}}.
Portanto
x[n] = \frac{1}{2}\,e^{-j\frac{\pi}{8}} \Bigl(e^{j\frac{7\pi n}{12}} + e^{j\frac{\pi n}{6}}\Bigr).

Passo 4

A DTFT de e^{j\omega_0 n} é
\sum_{n=-\infty}^{\infty} e^{j\omega_0 n}\,e^{-j\omega n} = \sum_{n=-\infty}^{\infty} e^{-j(\omega-\omega_0)n} = 2\pi \sum_{k=-\infty}^{\infty} \delta\!\bigl(\omega - \omega_0 - 2\pi k\bigr).
Usamos essa propriedade para cada termo em x[n].

Passo 5

Aplicando à soma em x[n], obtemos
X(e^{j\omega}) = \frac{1}{2}\,e^{-j\frac{\pi}{8}} \biggl[ 2\pi \sum_{k=-\infty}^{\infty} \delta\!\bigl(\omega-\tfrac{7\pi}{12}-2\pi k\bigr) \;+\; 2\pi \sum_{k=-\infty}^{\infty} \delta\!\bigl(\omega-\tfrac{\pi}{6}-2\pi k\bigr) \biggr].
Fatorando 2\pi e o 1/2, chega-se a

Resposta

X(e^{j\omega}) = \pi\,e^{-j\frac{\pi}{8}} \;\sum_{k=-\infty}^{\infty} \Bigl[\, \delta\!\bigl(\omega-\tfrac{7\pi}{12}-2\pi k\bigr) \;+\; \delta\!\bigl(\omega-\tfrac{\pi}{6}-2\pi k\bigr) \Bigr].

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