Questão 1 - Calcule a Transformada de Fourier em Tempo Discreto para as sequências a seguir
x[n]=e^{j(3 \pi n / 10-\pi / 10)}(5 / 8)^{n+1} u[n];

Passo 1

O enunciado dá a sequência
x[n] = e^{j\bigl(\tfrac{3\pi n}{10}-\tfrac{\pi}{10}\bigr)}\Bigl(\tfrac{5}{8}\Bigr)^{n+1}u[n]
e pede a Transformada de Fourier em tempo discreto, cujo conceito usamos a definição
X(e^{j\omega}) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n]\,e^{-j\omega n}.

Passo 2

Com u[n], a soma só “começa” em n=0. Logo
X(e^{j\omega}) =\sum_{n=0}^{\infty}e^{j\bigl(\tfrac{3\pi n}{10}-\tfrac{\pi}{10}\bigr)}\Bigl(\tfrac{5}{8}\Bigr)^{n+1}e^{-j\omega n}.

Passo 3

Separe os fatores independentes de n. Note que \bigl(\tfrac{5}{8}\bigr)^{n+1}=(\tfrac{5}{8})(\tfrac{5}{8})^n e o termo e^{-j\pi/10} não depende de n. Então
X(e^{j\omega}) =\frac{5}{8}\,e^{-j\pi/10} \sum_{n=0}^{\infty}\Bigl(\tfrac{5}{8}\Bigr)^{n}e^{j\frac{3\pi n}{10}}e^{-j\omega n}.

Passo 4

Combine as potências em uma só base:
e^{j\frac{3\pi n}{10}}\,e^{-j\omega n} =e^{\,j\bigl(\frac{3\pi}{10}-\omega\bigr)n}.
Defina
a = \frac{5}{8}\,e^{\,j\bigl(\tfrac{3\pi}{10}-\omega\bigr)},
assim a soma fica \sum_{n=0}^\infty a^n.

Passo 5

Usando a série geométrica \sum_{n=0}^\infty a^n = \tfrac{1}{1-a} para |a|<1 (aqui |a|=5/8<1), obtemos
X(e^{j\omega}) =\frac{5}{8}\,e^{-j\pi/10}\;\frac{1}{1 - \tfrac{5}{8}e^{\,j(\tfrac{3\pi}{10}-\omega)}}.

Resposta

X(e^{j\omega}) =\frac{\tfrac{5}{8}\,e^{-j\pi/10}}{1 - \tfrac{5}{8}\,e^{\,j(\tfrac{3\pi}{10}-\omega)}}.

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