Questão 1 - Calcule a Transformada de Fourier em Tempo Discreto para as sequências a seguir
x[n]=e^{j 3 \pi n / 8} \operatorname{sen}[5 \pi n / 24];

Passo 1

O enunciado pede a Transformada de Fourier em tempo discreto (DTFT) de
x[n] = e^{j\frac{3\pi}{8}n}\,\sin\!\Bigl(\frac{5\pi}{24}n\Bigr).
Vamos usar duas ideias principais: a identidade da função seno em termos de exponenciais complexas e a propriedade de que a DTFT de e^{j\Omega_{0}n} é um trem de deltas.

Passo 2

Usamos a fórmula
\sin(\theta) = \frac{e^{j\theta}-e^{-j\theta}}{2j}
com \theta = \tfrac{5\pi}{24}n. Assim,
\sin\!\Bigl(\tfrac{5\pi}{24}n\Bigr) = \frac{e^{j\frac{5\pi}{24}n}-e^{-j\frac{5\pi}{24}n}}{2j}.
Multiplicando por e^{j\frac{3\pi}{8}n} obtemos
x[n] = e^{j\frac{3\pi}{8}n}\,\frac{e^{j\frac{5\pi}{24}n}-e^{-j\frac{5\pi}{24}n}}{2j} = \frac{1}{2j}\Bigl(e^{j(\frac{3\pi}{8}+\frac{5\pi}{24})n}-e^{j(\frac{3\pi}{8}-\frac{5\pi}{24})n}\Bigr).

Passo 3

Simplificamos as somas de frações:
\frac{3\pi}{8} = \frac{9\pi}{24},\quad \frac{9\pi}{24}+\frac{5\pi}{24}=\frac{14\pi}{24}=\frac{7\pi}{12},\quad \frac{9\pi}{24}-\frac{5\pi}{24}=\frac{4\pi}{24}=\frac{\pi}{6}.
Logo
x[n] = \frac{1}{2j}\Bigl(e^{j\frac{7\pi}{12}n}-e^{j\frac{\pi}{6}n}\Bigr).

Passo 4

Sabemos que
\text{DTFT}\{e^{j\Omega_{0}n}\} = 2\pi\sum_{k\in\mathbb{Z}}\delta\bigl(\omega-\Omega_{0}+2\pi k\bigr).
Pela linearidade,
X(e^{j\omega}) = \frac{1}{2j}\Bigl[ 2\pi\!\sum_{k}\delta\bigl(\omega-\tfrac{7\pi}{12}+2\pi k\bigr) -2\pi\!\sum_{k}\delta\bigl(\omega-\tfrac{\pi}{6}+2\pi k\bigr) \Bigr].

Passo 5

Fatorando 2\pi/(2j)=\pi/j, obtemos a forma final em trem de deltas:

Resposta

X(e^{j\omega}) = \frac{\pi}{j}\sum_{k\in\mathbb{Z}} \Bigl[\, \delta\bigl(\omega-\tfrac{7\pi}{12}+2\pi k\bigr) -\delta\bigl(\omega-\tfrac{\pi}{6}+2\pi k\bigr) \Bigr].

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