Questão 1 - Calcule a Transformada de Fourier em Tempo Discreto para as sequências a seguir
x[n]=n(2 / 3)^{n-1} u[n];

Passo 1

O enunciado pede a Transformada de Fourier em tempo discreto (DTFT) de
x[n] = n\Bigl(\tfrac{2}{3}\Bigr)^{n-1}u[n].
Lembramos que a DTFT é
X(e^{j\omega}) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n]\,e^{-j\omega n},
e, como há o u[n], a soma efetivamente vai de n=0 a \infty. Vamos usar o resultado padrão para somas do tipo \sum n\,r^n.

Passo 2

Defina a = \tfrac{2}{3}. Então
X(e^{j\omega}) = \sum_{n=0}^{\infty} n\,a^{n-1}\,e^{-j\omega n} = a^{-1}\sum_{n=0}^{\infty} n\,(a\,e^{-j\omega})^n.

Passo 3

Usamos a soma conhecida
\sum_{n=0}^{\infty} n\,r^n = \frac{r}{(1 - r)^2},
válida para \lvert r\rvert<1. Aqui r = a\,e^{-j\omega} e \lvert a\rvert=2/3<1, logo
\sum_{n=0}^{\infty} n\,(a\,e^{-j\omega})^n = \frac{a\,e^{-j\omega}}{\bigl(1 - a\,e^{-j\omega}\bigr)^2}.
Substituindo em X(e^{j\omega}) vem
X(e^{j\omega}) = a^{-1}\,\frac{a\,e^{-j\omega}}{\bigl(1 - a\,e^{-j\omega}\bigr)^2} = \frac{e^{-j\omega}}{\bigl(1 - a\,e^{-j\omega}\bigr)^2}.

Resposta

\boxed{ X(e^{j\omega}) \;=\;\frac{e^{-j\omega}}{\bigl(1 - \tfrac{2}{3}\,e^{-j\omega}\bigr)^2} }.

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