Questão 1 - Calcule a Transformada de Fourier em Tempo Discreto para as sequências a seguir
x[n]=n(1 / 2)^{n}(u[n]-u[n-4]);

Passo 1

O enunciado dá a sequência
x[n] = n\Bigl(\tfrac12\Bigr)^{n}\bigl(u[n]-u[n-4]\bigr)
que é não nula apenas para n=0,1,2,3. Pede-se a Transformada de Fourier em Tempo Discreto
X(e^{\mathrm{j}\omega}) \;=\;\sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n]\,e^{-\mathrm{j}\omega n}.
Vamos usar diretamente essa definição e o fato de a sequência ter suporte n=0 até n=3.

Passo 2

Aplicando a definição, como x[n]=0 fora de n=0,1,2,3, temos
X(e^{\mathrm{j}\omega}) =\sum_{n=0}^{3} n\Bigl(\tfrac12\Bigr)^{n}e^{-\mathrm{j}\omega n}.
Note que o termo n=0 vale zero, pois vem multiplicado por n.

Passo 3

Escrevendo termo a termo (descartando n=0):
\begin{aligned} n=1:&\quad 1\cdot\Bigl(\tfrac12\Bigr)^1 e^{-\mathrm{j}\omega\cdot1} =\tfrac12\,e^{-\mathrm{j}\omega},\\\ n=2:&\quad 2\cdot\Bigl(\tfrac12\Bigr)^2 e^{-\mathrm{j}\omega\cdot2} =2\cdot\tfrac1{4}\,e^{-\mathrm{j}2\omega} =\tfrac12\,e^{-\mathrm{j}2\omega},\\\ n=3:&\quad 3\cdot\Bigl(\tfrac12\Bigr)^3 e^{-\mathrm{j}\omega\cdot3} =3\cdot\tfrac1{8}\,e^{-\mathrm{j}3\omega} =\tfrac{3}{8}\,e^{-\mathrm{j}3\omega}. \end{aligned}

Passo 4

Somando todos os termos, obtemos
X(e^{\mathrm{j}\omega}) =\tfrac12\,e^{-\mathrm{j}\omega} +\tfrac12\,e^{-\mathrm{j}2\omega} +\tfrac{3}{8}\,e^{-\mathrm{j}3\omega}.
Opcionalmente, pode-se fatorar e^{-\mathrm{j}\omega}:
X(e^{\mathrm{j}\omega}) =e^{-\mathrm{j}\omega}\Bigl(\tfrac12 +\tfrac12\,e^{-\mathrm{j}\omega} +\tfrac{3}{8}\,e^{-\mathrm{j}2\omega}\Bigr).

Resposta

X(e^{\mathrm{j}\omega}) =\tfrac12\,e^{-\mathrm{j}\omega} +\tfrac12\,e^{-\mathrm{j}2\omega} +\tfrac{3}{8}\,e^{-\mathrm{j}3\omega}.

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