Questão 1 - Calcule a Transformada de Fourier em Tempo Discreto para as sequências a seguir
x[n]=(n-2)^{2}(1 / 4)^{n-2} u[n];

Passo 1

O enunciado pede a Transformada de Fourier em Tempo Discreto (DTFT) de
x[n]=(n-2)^{2}\Bigl(\tfrac14\Bigr)^{\,n-2}\,u[n].
Isso significa calcular
X(e^{j\omega})=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]\,e^{-j\omega n},
sabendo que u[n] anula todos os termos com n<0. Vamos usar somatórios conhecidos de \sum \rho^{n}, \sum n\rho^{n} e \sum n^{2}\rho^{n}.

Passo 2

Como x[n]=0 para n<0, escrevemos
X(e^{j\omega}) =\sum_{n=0}^{\infty}(n-2)^{2}\Bigl(\tfrac14\Bigr)^{\,n-2}e^{-j\omega n}.
Fatorando \bigl(\tfrac14\bigr)^{n-2}=4^{2}\,(1/4)^{n}=16\,(1/4)^{n}, obtemos
X(e^{j\omega}) =16\sum_{n=0}^{\infty}(n-2)^{2}\bigl(a\,e^{-j\omega}\bigr)^{n}, \quad a=\tfrac14.

Passo 3

Expandimos (n-2)^{2}=n^{2}-4n+4, de modo que
X(e^{j\omega}) =16\Biggl\{\sum_{n=0}^{\infty}n^{2}\rho^{n} -4\sum_{n=0}^{\infty}n\,\rho^{n} +4\sum_{n=0}^{\infty}\rho^{n}\Biggr\},
onde definimos \rho=a\,e^{-j\omega}.

Passo 4

Usamos as fórmulas válidas para |\rho|<1:
\sum_{n=0}^{\infty}\rho^{n} =\frac1{1-\rho}, \quad \sum_{n=0}^{\infty}n\,\rho^{n} =\frac{\rho}{(1-\rho)^{2}}, \quad \sum_{n=0}^{\infty}n^{2}\,\rho^{n} =\frac{\rho\,(1+\rho)}{(1-\rho)^{3}}.

Passo 5

Substituindo e combinando em denominação comum (1-\rho)^{3}:
X(e^{j\omega}) =16\, \frac{\rho(1+\rho)-4\,\rho(1-\rho)+4(1-\rho)^{2}}{(1-\rho)^{3}}.
Expandindo o numerador e simplificando chega-se a
X(e^{j\omega}) =16\, \frac{4-11\,\rho+9\,\rho^{2}}{(1-\rho)^{3}}.

Passo 6

Voltando a \rho=(\tfrac14)e^{-j\omega} e multiplicando 16:
16\cdot4=64, \quad 16\cdot(-11\,\rho)=-176\,\rho, \quad 16\cdot9\,\rho^{2}=144\,\rho^{2}.
Como \rho=(1/4)e^{-j\omega} e \rho^{2}=(1/16)e^{-j2\omega}, temos
-176\,\rho=-44\,e^{-j\omega}, \quad 144\,\rho^{2}=9\,e^{-j2\omega}.
Portanto,

Resposta

X(e^{j\omega}) =\frac{64-44\,e^{-j\omega}+9\,e^{-j2\omega}} {\bigl(1-\tfrac14\,e^{-j\omega}\bigr)^{3}}.

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