Questão 1 - Calcule a Transformada de Fourier em Tempo Discreto para as sequências a seguir
x[n]=\operatorname{sen}[5 \pi n / 18] \cos [2 \pi n / 15];

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Fourier em tempo discreto (DTFT) de
x[n] = \sin\!\bigl(\tfrac{5\pi}{18}n\bigr)\,\cos\!\bigl(\tfrac{2\pi}{15}n\bigr).
O conteúdo principal envolve usar a identidade produto-para-soma para reescrever x[n] como soma de senos simples e depois representar cada seno em termos de exponenciais para aplicar a DTFT de e^{j\Omega_{0}n}.

Passo 2

Usamos a identidade
\sin(A)\cos(B) \;=\;\tfrac12\bigl[\sin(A+B)+\sin(A-B)\bigr]
com A=\tfrac{5\pi}{18}n e B=\tfrac{2\pi}{15}n. Calculando
A+B = \Bigl(\tfrac{5}{18}+\tfrac{2}{15}\Bigr)\pi n = \tfrac{25+12}{90}\,\pi n = \tfrac{37\pi}{90}n,
A-B = \Bigl(\tfrac{5}{18}-\tfrac{2}{15}\Bigr)\pi n = \tfrac{25-12}{90}\,\pi n = \tfrac{13\pi}{90}n.

Passo 3

Portanto
x[n] = \tfrac12\Bigl[\sin\!\bigl(\tfrac{37\pi}{90}n\bigr) + \sin\!\bigl(\tfrac{13\pi}{90}n\bigr)\Bigr].

Passo 4

Expressamos cada seno em termos de exponenciais:
\sin(\Omega_{0}n) = \tfrac{1}{2j}\bigl(e^{j\Omega_{0}n}-e^{-j\Omega_{0}n}\bigr).
Logo
x[n] = \tfrac12\Bigl[\tfrac{1}{2j}\bigl(e^{j\frac{37\pi}{90}n}-e^{-j\frac{37\pi}{90}n}\bigr) +\tfrac{1}{2j}\bigl(e^{j\frac{13\pi}{90}n}-e^{-j\frac{13\pi}{90}n}\bigr)\Bigr] = \tfrac{1}{4j}\Bigl[e^{j\frac{37\pi}{90}n}-e^{-j\frac{37\pi}{90}n} +e^{j\frac{13\pi}{90}n}-e^{-j\frac{13\pi}{90}n}\Bigr].

Passo 5

A DTFT de e^{j\Omega_{0}n} é
\sum_{n=-\infty}^{\infty}e^{j\Omega_{0}n}e^{-j\omega n} =2\pi\sum_{k=-\infty}^{\infty}\delta\bigl(\omega-\Omega_{0}-2\pi k\bigr).
Pela linearidade, cada termo exponencial gera um pulso de Dirac deslocado.

Passo 6

Reunindo tudo e focando no intervalo principal \omega\in[-\pi,\pi), obtemos
X\bigl(e^{j\omega}\bigr) =\tfrac{1}{4j}\,2\pi\Bigl[\delta\bigl(\omega-\tfrac{37\pi}{90}\bigr) -\delta\bigl(\omega+\tfrac{37\pi}{90}\bigr) +\delta\bigl(\omega-\tfrac{13\pi}{90}\bigr) -\delta\bigl(\omega+\tfrac{13\pi}{90}\bigr)\Bigr].
Simplificando 2\pi/(4j)=\pi/(2j), fica:

Resposta

X\bigl(e^{j\omega}\bigr) =\frac{\pi}{2j}\Bigl[\delta\bigl(\omega-\tfrac{37\pi}{90}\bigr) -\delta\bigl(\omega+\tfrac{37\pi}{90}\bigr) +\delta\bigl(\omega-\tfrac{13\pi}{90}\bigr) -\delta\bigl(\omega+\tfrac{13\pi}{90}\bigr)\Bigr].

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