Questão 3 - Calcule a transformada de Laplace de \mathcal{L}\{\sqrt{t}\}.

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace de \sqrt{t}, ou seja usar a definição
\mathcal{L}\{f(t)\}=\int_{0}^{\infty}f(t)e^{-s t}\,dt
e relacionar com a função Gama
\Gamma(\alpha)=\int_{0}^{\infty}t^{\alpha-1}e^{-t}\,dt.

Passo 2

Escrevemos diretamente a integral da transformada para f(t)=\sqrt{t}=t^{1/2}:
\mathcal{L}\{\sqrt{t}\} =\int_{0}^{\infty}t^{1/2}e^{-s t}\,dt.
Aqui reconhecemos a forma \int_{0}^{\infty}t^{\alpha-1}e^{-s t}\,dt.

Passo 3

Aplicamos a identidade da função Gama ajustada ao parâmetro s:
\int_{0}^{\infty}t^{\alpha-1}e^{-s t}\,dt =\Gamma(\alpha)\,s^{-\alpha}.
No nosso caso t^{1/2}=t^{\alpha-1} implica \alpha-1=\tfrac12 e, portanto, \alpha=\tfrac32. Logo
\int_{0}^{\infty}t^{1/2}e^{-s t}\,dt =\Gamma\bigl(\tfrac32\bigr)\,s^{-3/2}.

Passo 4

Sabemos que
\Gamma\bigl(\tfrac32\bigr)=\tfrac12\sqrt{\pi}.
Substituindo, obtemos
\mathcal{L}\{\sqrt{t}\} =\tfrac12\sqrt{\pi}\;s^{-3/2}.

Resposta

\mathcal{L}\{\sqrt{t}\} = \frac{\sqrt{\pi}}{2\,s^{3/2}}.

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