Questão 4 - Considere o problema de valor inicial
\left\{\begin{array}{l} y^{\prime}-\int_{0}^{t} y^{\prime}(x) d x=1, t>0 \\\ y(0)=1 \end{array}\right.
Encontre a solução usando transformada de Laplace.

Passo 1

O enunciado nos dá o problema de valor inicial
\begin{cases} y'(t)-\displaystyle\int_{0}^{t}y'(x)\,dx = 1,\quad t>0,\\\ y(0)=1. \end{cases}
O conteúdo aqui é transformada de Laplace, usando as propriedades
– de derivada: \mathcal{L}\{y'\}(s)=sY(s)-y(0),
– de integral: \mathcal{L}\{\int_{0}^{t}y'(x)\,dx\}(s)=\frac{\mathcal{L}\{y'\}(s)}{s}.

Passo 2

Aplicando a transformada de Laplace em ambos os lados de
y'(t)-\int_{0}^{t}y'(x)\,dx = 1
obtemos
\mathcal{L}\{y'\}(s)\;-\;\mathcal{L}\Bigl\{\int_{0}^{t}y'(x)\,dx\Bigr\}(s)\;=\;\mathcal{L}\{1\}(s).

Passo 3

Substituindo as propriedades e y(0)=1:
\bigl[sY(s)-1\bigr]\;-\;\frac{sY(s)-1}{s}\;=\;\frac{1}{s}.
Agora simplificamos o lado esquerdo:
sY(s)-1 \;-\;\bigl(Y(s)-\tfrac{1}{s}\bigr)\;=\;\frac{1}{s} \quad\Longrightarrow\quad (s-1)Y(s)\;+\;\frac{1}{s}-1\;=\;\frac{1}{s}.

Passo 4

Isolando Y(s):
(s-1)Y(s) =\frac{1}{s}-\Bigl(\frac{1}{s}-1\Bigr) =1 \quad\Longrightarrow\quad Y(s)=\frac{1}{s-1}.

Passo 5

Fazendo a transformada inversa de Laplace de \displaystyle Y(s)=\frac{1}{s-1}
sabemos que
\mathcal{L}^{-1}\!\Bigl\{\tfrac{1}{s-1}\Bigr\}(t)=e^{t}.

Resposta

A solução do problema é
y(t)=e^{t}.

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