Questão 5 - Use a linearidade da transformada de Laplace e calcule:
a) \mathcal{L}\left\{\operatorname{sen}^{2}(t)\right\}
Dica: use o fato que \operatorname{sen}^{2}(t)=\frac{1-\cos (2 t)}{2} e \cos ^{2}(t)=\frac{1+\cos (2 t)}{2}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular \mathcal{L}\{\sin^2(t)\} usando a linearidade da transformada de Laplace e a identidade trigonométrica. O conteúdo que vamos usar é:
– Identidade:
\sin^2(t)=\frac{1-\cos(2t)}{2}.
– Linearidade:
\mathcal{L}\{a\,f(t)+b\,g(t)\}=a\,\mathcal{L}\{f(t)\}+b\,\mathcal{L}\{g(t)\}.
– Transformadas conhecidas: \mathcal{L}\{1\}=\frac{1}{s} e \mathcal{L}\{\cos(at)\}=\frac{s}{s^2+a^2}.

Passo 2

Aplicando a identidade dentro da transformada e usando linearidade:
\mathcal{L}\{\sin^2(t)\} =\mathcal{L}\Big\{\frac{1-\cos(2t)}{2}\Big\} =\frac{1}{2}\,\mathcal{L}\{1\} -\frac{1}{2}\,\mathcal{L}\{\cos(2t)\}.

Passo 3

Substituindo as transformadas conhecidas:
\frac{1}{2}\,\mathcal{L}\{1\} -\frac{1}{2}\,\mathcal{L}\{\cos(2t)\} =\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{s} -\frac{1}{2}\cdot\frac{s}{s^2+4}.
Para simplificar, colocamos sobre o mesmo denominador:
\frac{1}{2s}-\frac{s}{2(s^2+4)} =\frac{s^2+4 - s^2}{2s(s^2+4)} =\frac{4}{2s(s^2+4)} =\frac{2}{s\,(s^2+4)}.

Resposta

\mathcal{L}\{\sin^2(t)\}=\frac{2}{s\,(s^2+4)}.

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