Questão 1. Calcule a Transformada de Laplace da seguinte função
onde
.
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular a Transformada de Laplace da função
onde
.
Informações dadas e suposições padrão: a variável da função é e a Transformada de Laplace será tomada em respeito a
com variável complexa
. Assumimos o domínio usual
. A tarefa é fornecer
.
Informações dadas e suposições padrão: a variável da função é
Passo 2
Definição e ideia principal (sem pular etapas): a Transformada de Laplace de uma função
é definida por
quando essa integral converge. Aqui
é, em geral, um número complexo e a convergência costuma exigir uma condição do tipo
(a chamada região de convergência). A propriedade que vamos usar desde já é a linearidade: para constantes
e funções
,
Passo 3
Aplicando a linearidade ao nosso caso:
Agora calculamos separadamente
e
.
Passo 4
Cálculo de
pelo uso da definição e da identidade exponencial
. Então
Separando integrals:
Cada integral é da forma
quando
. Aqui precisamos de
e
; a condição dominante é
. Assim
Fazendo a subtração de frações:
Portanto
Passo 5
Cálculo de
. Uma maneira limpa é usar a representação complexa
. Então
A integral
exige
. Aqui
, logo precisamos de
. Assim
e tomando parte real:
Calculamos a parte real de
. Escrevendo
(aqui) como variável complexa, a identidade conhecida é
Portanto
(Observação: este resultado é o conhecido
.)
Passo 6
Agora voltamos à combinação linear do Passo 3. Substituindo os resultados:
A região de convergência é a interseção das condições obtidas para cada termo:
(essa domina porque exige mais que
). Portanto a expressão vale para
.
Resposta
Região de convergência: