Questão 1. Calcule a Transformada de Laplace da seguinte função
a \operatorname{sinh} (6 t)+\frac{2}{3} \cos (7 t),
onde a \in \mathbb{R}.

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a Transformada de Laplace da função
a \operatorname{sinh}(6t)+\frac{2}{3}\cos(7t),
onde a\in\mathbb{R}.
Informações dadas e suposições padrão: a variável da função é t e a Transformada de Laplace será tomada em respeito a t com variável complexa s. Assumimos o domínio usual t\ge 0. A tarefa é fornecer \mathcal{L}\{a \operatorname{sinh}(6t)+\tfrac{2}{3}\cos(7t)\}(s).

Passo 2

Definição e ideia principal (sem pular etapas): a Transformada de Laplace de uma função f(t) é definida por
\mathcal{L}\{f(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st} f(t)\,dt,
quando essa integral converge. Aqui s é, em geral, um número complexo e a convergência costuma exigir uma condição do tipo \Re(s)>\sigma (a chamada região de convergência). A propriedade que vamos usar desde já é a linearidade: para constantes \alpha,\beta e funções f,g,
\mathcal{L}\{\alpha f(t)+\beta g(t)\}(s)=\alpha\mathcal{L}\{f(t)\}(s)+\beta\mathcal{L}\{g(t)\}(s).

Passo 3

Aplicando a linearidade ao nosso caso:
\mathcal{L}\left\{a \operatorname{sinh}(6t)+\frac{2}{3}\cos(7t)\right\}(s) = a\,\mathcal{L}\{\operatorname{sinh}(6t)\}(s)+\frac{2}{3}\,\mathcal{L}\{\cos(7t)\}(s).
Agora calculamos separadamente \mathcal{L}\{\operatorname{sinh}(6t)\} e \mathcal{L}\{\cos(7t)\}.

Passo 4

Cálculo de \mathcal{L}\{\operatorname{sinh}(6t)\}(s) pelo uso da definição e da identidade exponencial
\operatorname{sinh}(6t)=\tfrac{1}{2}\big(e^{6t}-e^{-6t}\big). Então
\mathcal{L}\{\operatorname{sinh}(6t)\}(s) = \int_{0}^{\infty} e^{-st}\operatorname{sinh}(6t)\,dt = \frac{1}{2}\int_{0}^{\infty} e^{-st}\big(e^{6t}-e^{-6t}\big)\,dt.
Separando integrals:
\frac{1}{2}\left(\int_{0}^{\infty} e^{-(s-6)t}\,dt - \int_{0}^{\infty} e^{-(s+6)t}\,dt\right).
Cada integral é da forma \int_{0}^{\infty} e^{-\alpha t}\,dt=\tfrac{1}{\alpha} quando \Re(\alpha)>0. Aqui precisamos de \Re(s-6)>0 e \Re(s+6)>0; a condição dominante é \Re(s)>6. Assim
\mathcal{L}\{\operatorname{sinh}(6t)\}(s) = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{s-6}-\frac{1}{s+6}\right).
Fazendo a subtração de frações:
\frac{1}{2}\cdot\frac{(s+6)-(s-6)}{(s-6)(s+6)} = \frac{1}{2}\cdot\frac{12}{s^{2}-36} = \frac{6}{s^{2}-36}.
Portanto
\mathcal{L}\{\operatorname{sinh}(6t)\}(s)=\frac{6}{s^{2}-36},\qquad \text{para }\Re(s)>6.

Passo 5

Cálculo de \mathcal{L}\{\cos(7t)\}(s). Uma maneira limpa é usar a representação complexa
\cos(7t)=\Re(e^{i7t}). Então
\mathcal{L}\{\cos(7t)\}(s) = \Re\!\left(\int_{0}^{\infty} e^{-st} e^{i7t}\,dt\right) = \Re\!\left(\int_{0}^{\infty} e^{-(s-i7)t}\,dt\right).
A integral \int_{0}^{\infty} e^{-\beta t}\,dt=\tfrac{1}{\beta} exige \Re(\beta)>0. Aqui \beta=s-i7, logo precisamos de \Re(s)>0. Assim
\int_{0}^{\infty} e^{-(s-i7)t}\,dt=\frac{1}{s-i7},
e tomando parte real:
\mathcal{L}\{\cos(7t)\}(s)=\Re\!\left(\frac{1}{s-i7}\right).
Calculamos a parte real de \frac{1}{s-i7}. Escrevendo s (aqui) como variável complexa, a identidade conhecida é
\Re\!\left(\frac{1}{s-i7}\right)=\frac{s}{s^{2}+49}.
Portanto
\mathcal{L}\{\cos(7t)\}(s)=\frac{s}{s^{2}+49},\qquad \text{para }\Re(s)>0.
(Observação: este resultado é o conhecido \mathcal{L}\{\cos(\omega t)\}(s)=\tfrac{s}{s^{2}+\omega^{2}}.)

Passo 6

Agora voltamos à combinação linear do Passo 3. Substituindo os resultados:
\mathcal{L}\left\{a \operatorname{sinh}(6t)+\frac{2}{3}\cos(7t)\right\}(s) = a\cdot\frac{6}{s^{2}-36}+\frac{2}{3}\cdot\frac{s}{s^{2}+49}.
A região de convergência é a interseção das condições obtidas para cada termo: \Re(s)>6 (essa domina porque exige mais que \Re(s)>0). Portanto a expressão vale para \Re(s)>6.

Resposta

\frac{6a}{s^{2}-36}+\frac{2}{3}\cdot\frac{s}{s^{2}+49}
Região de convergência: \Re(s)>6

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