Questão: Calcule, sem usar derivadas:

Passo 1

O enunciado pede para calcular
limxto -inftyraiz[4]16x^12+7x^5-4raizx^6+9x^3+8
sem usar derivadas.
O conteúdo principal aqui é tratamento de limites no infinito envolvendo radicais. Vamos usar fatoração do maior termo em cada radical e propriedades de raízes para simplificar a expressão.

Passo 2

Analise do numerador:
raiz[4]16x^12+7x^5-4 =raiz[4]x^12l(16 +7x^-7-4x^-12r)
pelo fato de raiz[4]a b=raiz[4]a,raiz[4]b, segue
raiz[4]16x^12+7x^5-4 =raiz[4]x^12;raiz[4]16 +7x^-7-4x^-12
Como raiz[4]x^12=|x^3| e para xto -infty temos |x|=-x, então
raiz[4]x^12=|x^3|=(-x)^3=-x^3
Logo
raiz[4]16x^12+7x^5-4 =(-x^3),raiz[4]16 +7x^-7-4x^-12

Passo 3

Analise do denominador:
raizx^6+9x^3+8 =raizx^6l(1+9x^-3+8x^-6r) =raizx^6,raiz1+9x^-3+8x^-6
Como raizx^6=|x^3| e de novo |x^3|=-x^3 quando xto -infty, obtemos
raizx^6+9x^3+8 =(-x^3),raiz1+9x^-3+8x^-6

Passo 4

Agora a razão torna-se
raiz[4]16x^12+7x^5-4raizx^6+9x^3+8 =(-x^3),raiz[4]16 +7x^-7-4x^-12(-x^3),raiz1+9x^-3+8x^-6 =raiz[4]16 +7x^-7-4x^-12raiz1+9x^-3+8x^-6
Quando xto -infty, todos os termos x^-k tendem a zero, então
raiz[4]16 +7x^-7-4x^-12toraiz[4]16=2, raiz1+9x^-3+8x^-6toraiz1=1
Portanto o limite é
21=2

Resposta

2

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