Questão: Calcule, sem usar derivadas:
Passo 1
O enunciado pede o cálculo do limite
sem usar derivadas. O conteúdo principal é limites de funções que geram indeterminação do tipo
e a técnica que vamos usar é a racionalização de expressões com raiz.
Passo 2
Verificamos a forma indeterminada substituindo
:
logo obtemos
. Para eliminar essa indeterminação, vamos racionalizar primeiro o numerador e depois o denominador.
Passo 3
Racionalizamos o numerador multiplicando numerador e denominador por
:
Passo 4
Agora racionalizamos o fator
do denominador, multiplicando numerador e denominador por
:
Podemos simplificar
(no vizinho de zero) e obter
Passo 5
Com a forma simplificada, aplicamos o limite
. Substituindo diretamente:
logo