2^a Questão: Calcule, sem usar derivadas:
lim x 0 raiz1-x-1raiz1+x-1

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite
limxto0raiz1-x-1raiz1+x-1
sem usar derivadas. O conteúdo principal é limites de funções que geram indeterminação do tipo 0/0 e a técnica que vamos usar é a racionalização de expressões com raiz.

Passo 2

Verificamos a forma indeterminada substituindo x=0:
raiz1-0-1 = 1-1 = 0, raiz1+0-1 = 1-1 = 0,
logo obtemos 0/0. Para eliminar essa indeterminação, vamos racionalizar primeiro o numerador e depois o denominador.

Passo 3

Racionalizamos o numerador multiplicando numerador e denominador por raiz1-x+1:
raiz1-x-1raiz1+x-1 ;times; raiz1-x+1raiz1-x+1 = (raiz1-x-1)(raiz1-x+1)(raiz1+x-1)(raiz1-x+1) = (1-x)-1(raiz1+x-1)(raiz1-x+1) = -x(raiz1+x-1)(raiz1-x+1)

Passo 4

Agora racionalizamos o fator raiz1+x-1 do denominador, multiplicando numerador e denominador por raiz1+x+1:
-x(raiz1+x-1)(raiz1-x+1) ;times; raiz1+x+1raiz1+x+1 = -x,(raiz1+x+1)(1+x)-1;l(raiz1-x+1r) = -x,(raiz1+x+1)x,(raiz1-x+1)
Podemos simplificar xneq0 (no vizinho de zero) e obter
raiz1-x-1raiz1+x-1 = -,raiz1+x+1raiz1-x+1

Passo 5

Com a forma simplificada, aplicamos o limite xto0. Substituindo diretamente:
raiz1+0=1, raiz1-0=1,
logo
limxto0 -,raiz1+x+1raiz1-x+1 = -,1+11+1 = -,22 = -1

Resposta

-1

Exercícios relacionados