Questão (7(2,0)). Calcule, utilizando as propriedades cic limite os limites abaixo:
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{3}{x^{2}-x};
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{3}{x^{2}-x};
Passo 1
O enunciado pede para calcular o limite
que é um caso de limite de função racional cujo numerador é constante e cujo denominador tende a zero. Para resolver, vamos identificar o comportamento do denominador perto de
e estudar os limites laterais para ver se a fração diverge ou converge.
Passo 2
Primeiro, observe que
Logo, o valor da expressão é do tipo
, o que sugere que o limite pode ser infinito ou não existir. Para decidir, analisamos o sinal de
em cada lado de zero.
Passo 3
Quando
, temos
pequeno, então
é ainda mais pequeno que
e
Daí
isto é,
Passo 4
Quando
, temos
pequeno, então
é positivo e domina menos que
, de modo que
Logo
ou seja,
Passo 5
Como
e
, os limites laterais são diferentes e a função não se aproxima de um mesmo valor (ou mesmo do mesmo tipo de infinito) pela direita e pela esquerda. Portanto, o limite bilateral não existe.
Resposta
O limite
não existe (diverge), pois as duas limitações laterais são infinitos de sinais opostos.