Questão (7(2,0)). Calcule, utilizando as propriedades cic limite os limites abaixo:
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{3}{x^{2}-x};

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{x\to 0}\frac{3}{x^{2}-x}
que é um caso de limite de função racional cujo numerador é constante e cujo denominador tende a zero. Para resolver, vamos identificar o comportamento do denominador perto de x=0 e estudar os limites laterais para ver se a fração diverge ou converge.

Passo 2

Primeiro, observe que
\lim_{x\to 0}(x^{2}-x)=0^{2}-0=0.
Logo, o valor da expressão é do tipo \tfrac{3}{0}, o que sugere que o limite pode ser infinito ou não existir. Para decidir, analisamos o sinal de x^{2}-x em cada lado de zero.

Passo 3

Quando x\to 0^{+}, temos x>0 pequeno, então x^{2} é ainda mais pequeno que x e
x^{2}-x \approx -x <0.
Daí
\frac{3}{x^{2}-x}\to \frac{3}{\text{pequeno negativo}}=-\infty,
isto é,
\lim_{x\to 0^{+}}\frac{3}{x^{2}-x}=-\infty.

Passo 4

Quando x\to 0^{-}, temos x<0 pequeno, então x^{2} é positivo e domina menos que -x, de modo que
x^{2}-x \approx -x >0.
Logo
\frac{3}{x^{2}-x}\to \frac{3}{\text{pequeno positivo}}=+\infty,
ou seja,
\lim_{x\to 0^{-}}\frac{3}{x^{2}-x}=+\infty.

Passo 5

Como \lim_{x\to 0^{+}}\frac{3}{x^{2}-x}=-\infty e \lim_{x\to 0^{-}}\frac{3}{x^{2}-x}=+\infty, os limites laterais são diferentes e a função não se aproxima de um mesmo valor (ou mesmo do mesmo tipo de infinito) pela direita e pela esquerda. Portanto, o limite bilateral não existe.

Resposta

O limite \lim_{x\to0}\tfrac{3}{x^{2}-x} não existe (diverge), pois as duas limitações laterais são infinitos de sinais opostos.

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