Questão 8 Calcule o valor de
\frac{\sqrt{1,777 \ldots}}{\sqrt{0,111 \ldots}} .

Resposta: 4.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\frac{\sqrt{1,777\ldots}}{\sqrt{0,111\ldots}}
Isso envolve transformar as dízimas periódicas em frações e, em seguida, simplificar a raiz quadrada do quociente.

Passo 2

Convertemos 1,777\ldots em fração usando a soma de uma série geométrica:
1,777\ldots = 1 + \sum_{k=1}^{\infty}7\cdot10^{-k} = 1 + 7\cdot\frac{\tfrac{1}{10}}{1-\tfrac{1}{10}} = 1 + \frac{7}{9} = \frac{16}{9}.

Passo 3

Convertemos 0,111\ldots em fração da mesma forma:
0,111\ldots = \sum_{k=1}^{\infty}1\cdot10^{-k} = \frac{\tfrac{1}{10}}{1-\tfrac{1}{10}} = \frac{1}{9}.

Passo 4

Substituímos nas raízes e simplificamos:
\frac{\sqrt{1,777\ldots}}{\sqrt{0,111\ldots}} = \sqrt{\frac{1,777\ldots}{0,111\ldots}} = \sqrt{\frac{\tfrac{16}{9}}{\tfrac{1}{9}}} = \sqrt{16} = 4.

Resposta

4

Exercícios relacionados