Questão 7 Calcule o valor da expressão
\sqrt{1+\sqrt{15-\sqrt{32-\sqrt{25-\sqrt{81}}}}}
Resposta: 2.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a expressão \sqrt{\,1 \;+\;\sqrt{\,15 \;-\;\sqrt{\,32 \;-\;\sqrt{\,25 \;-\;\sqrt{81}\,}\,}\,}\,}
Isso é um radical aninhado (nested radical). Vamos simplificar de dentro para fora, usando propriedades básicas de raiz quadrada.

Passo 2

Dentro do radical mais interno temos \sqrt{81}. Como 81 é quadrado perfeito,
\sqrt{81} = 9.

Passo 3

Substituindo na próxima camada, vem
\sqrt{25 - \sqrt{81}} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4.

Passo 4

Agora calculamos
\sqrt{32 - \sqrt{25 - \sqrt{81}}} = \sqrt{32 - 4} = \sqrt{28} = \sqrt{4 \times 7} = 2\sqrt{7}.

Passo 5

Ainda falta a camada seguinte: \sqrt{15 - \sqrt{32 - \sqrt{25 - \sqrt{81}}}} = \sqrt{15 - 2\sqrt{7}}.
Não existe fatoração que transforme \sqrt{15-2\sqrt7} num inteiro ou num radical simples de dois termos com inteiros, então deixamos assim.

Passo 6

Finalmente, a expressão original fica \sqrt{\,1 + \sqrt{15 - 2\sqrt7}\,}.
Esse é o valor exato mais simples que conseguimos. Se quisermos um número aproximado, basta calcular numericamente:
\sqrt{15 - 2\sqrt7}\approx 3{,}1165 \quad\Longrightarrow\quad 1 + 3{,}1165 = 4{,}1165 \quad\Longrightarrow\quad \sqrt{4{,}1165}\approx 2{,}0288.

Resposta

O valor exato simplificado é \sqrt{\,1 + \sqrt{15 - 2\sqrt7}\,},
e numericamente dá aproximadamente 2{,}0288.

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