Questão 1. Calcule o valor do limite ou mostre que o limite não existe: (1.0 \mathrm{pt}) \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x y^{2}}{x^{2}+y^{2}}
Passo 1
O enunciado pede calcular
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x y^{2}}{x^{2}+y^{2}}.
Informações dadas:
\text{função } f(x,y)=\frac{x y^{2}}{x^{2}+y^{2}}\text{, definida para }(x,y)\neq(0,0).
Pergunta clara: encontrar o valor do limite quando (x,y) se aproxima de (0,0) ou mostrar que o limite não existe.
Passo 2
Escolha do método: vou usar coordenadas polares. Motivo: em coordenadas polares as expressões que envolvem x^{2}+y^{2} ficam em função de r^{2}, o que geralmente simplifica limites em torno da origem — reduzimos o problema a analisar o comportamento quando r\to0. Esse método também trata todas as direções ao mesmo tempo (dependência do ângulo \theta), então é uma boa maneira de verificar se o limite existe e qual é seu valor.
Passo 3
Lembrando as coordenadas polares:
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,
com r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}\ge 0 e \theta qualquer ângulo. Observação importante: (x,y)\to(0,0) é equivalente a r\to 0^{+} (o ângulo \theta pode variar livremente). Isso nos permite reescrever a função em termos de r e \theta.
Passo 4
Substituindo x e y em f:
x y^{2}=(r\cos\theta)\,(r\sin\theta)^{2}=r^{3}\cos\theta\,\sin^{2}\theta,
Sabemos que |\cos\theta|\le 1 e \sin^{2}\theta\le 1 para todo \theta. Logo
\left|\frac{x y^{2}}{x^{2}+y^{2}}\right|\le r.
Isto fornece a desigualdade
-r \le \frac{x y^{2}}{x^{2}+y^{2}} \le r.
Passo 6
Aplicando o teorema do confronto (squeeze theorem): quando r\to 0^{+} ambas as funções -r e r tendem a 0. Como a nossa função está entre essas duas e a desigualdade vale para todo \theta, concluímos que