Questão 1. Calcule o valor do limite ou mostre que o limite não existe:
Passo 1
O enunciado pede o valor do limite
Informações dadas e o que precisamos encontrar:
- A função cuja limite queremos é
. - O ponto de aproximação é
. - Precisamos calcular o limite quando
tende a ou mostrar que ele não existe.
Passo 2
Conceito útil (explicado de forma simples): polinômios e somas, produtos e quocientes (quando o denominador não é zero) de funções contínuas são contínuas. Isso significa que, se o numerador e o denominador têm limites em um ponto e o limite do denominador é diferente de zero, então o limite do quociente é o quociente dos limites. Em linguagem prática: se ao avaliar o numerador e o denominador no ponto obtemos resultados finitos e o denominador não é zero, então podemos simplesmente substituir o ponto na expressão para obter o limite.
Vou aplicar essa ideia: primeiro calculo o valor do numerador em
; depois calculo o valor do denominador em
. Se o denominador não for zero, o limite existe e é o quociente desses valores.
Passo 3
Calcular o numerador em
. O numerador é
. Substituindo
e
:
Agora faço as contas passo a passo:
então
Portanto o numerador avaliado no ponto vale
.
Passo 4
Calcular o denominador em
. O denominador é
. Substituindo
e
:
Faço as contas:
então
Portanto o denominador avaliado no ponto vale
, que é diferente de zero.
Passo 5
Conclusão pela propriedade de continuidade/limites: como o numerador tende para
e o denominador tende para
quando
, e o limite do denominador é diferente de zero, o limite da razão existe e é o quociente dos limites. Calculamos: