Questão 1. Calcule o valor do limite ou mostre que o limite não existe:
(1.0 \mathrm{pt}) \lim _{(r, s) \rightarrow(-1,2)} \frac{-r s-2 r+s-2}{(r+11)^{2}+(s-2)^{2}}

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite
\lim_{(r,s)\to(-1,2)} \frac{-r s-2 r+s-2}{(r+11)^{2}+(s-2)^{2}}.
Informações dadas e o que precisamos encontrar:
  • A função cuja limite queremos é F(r,s)=\dfrac{-r s-2 r+s-2}{(r+11)^{2}+(s-2)^{2}}.
  • O ponto de aproximação é (r,s)=(-1,2).
  • Precisamos calcular o limite quando (r,s) tende a (-1,2) ou mostrar que ele não existe.

Passo 2

Conceito útil (explicado de forma simples): polinômios e somas, produtos e quocientes (quando o denominador não é zero) de funções contínuas são contínuas. Isso significa que, se o numerador e o denominador têm limites em um ponto e o limite do denominador é diferente de zero, então o limite do quociente é o quociente dos limites. Em linguagem prática: se ao avaliar o numerador e o denominador no ponto obtemos resultados finitos e o denominador não é zero, então podemos simplesmente substituir o ponto na expressão para obter o limite.
Vou aplicar essa ideia: primeiro calculo o valor do numerador em (r,s)=(-1,2); depois calculo o valor do denominador em (r,s)=(-1,2). Se o denominador não for zero, o limite existe e é o quociente desses valores.

Passo 3

Calcular o numerador em (r,s)=(-1,2). O numerador é -r s - 2 r + s - 2. Substituindo r=-1 e s=2:
-r s - 2 r + s - 2 = -(-1)\cdot 2 - 2\cdot(-1) + 2 - 2.
Agora faço as contas passo a passo:
-(-1)\cdot 2 = 2,
-2\cdot(-1) = 2,
então
2 + 2 + 2 - 2 = 4.
Portanto o numerador avaliado no ponto vale 4.

Passo 4

Calcular o denominador em (r,s)=(-1,2). O denominador é (r+11)^{2} + (s-2)^{2}. Substituindo r=-1 e s=2:
(r+11)^{2} + (s-2)^{2} = (-1+11)^{2} + (2-2)^{2}.
Faço as contas:
-1+11 = 10 \quad\Rightarrow\quad 10^{2}=100,
2-2=0 \quad\Rightarrow\quad 0^{2}=0,
então
100 + 0 = 100.
Portanto o denominador avaliado no ponto vale 100, que é diferente de zero.

Passo 5

Conclusão pela propriedade de continuidade/limites: como o numerador tende para 4 e o denominador tende para 100 quando (r,s)\to(-1,2), e o limite do denominador é diferente de zero, o limite da razão existe e é o quociente dos limites. Calculamos:
\lim_{(r,s)\to(-1,2)} \frac{-r s-2 r+s-2}{(r+11)^{2}+(s-2)^{2}} = \frac{4}{100} = \frac{1}{25}.

Resposta

\dfrac{1}{25}

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