Resolva os problemas de valor inicial:
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial com condição inicial:
O que precisa ser encontrado é a função
que satisfaz a equação diferencial para todo
do domínio (assumimos aqui
) e que também satisfaz a condição inicial
.
As informações relevantes são:
significa derivada de
em relação a
;
o termo multiplicando é
;
o segundo membro (função forçante) é ;
a condição inicial é .]
As informações relevantes são:
o termo multiplicando
o segundo membro (função forçante) é
a condição inicial é
Passo 2
Vamos usar o método do fator integrante (variação de constante também é equivalente). Vou explicar o que é e por que usamos: para uma equação linear de primeira ordem escrita na forma
o fator integrante é uma função
definida por
Multiplicar a equação por
transforma o lado esquerdo na derivada do produto
, o que facilita integrar. Aqui devemos primeiro escrever a equação no formato
. A equação dada é
logo identificamos
e
.
Passo 3
Calculemos o fator integrante
:
Agora multiplicamos toda a equação por
. O lado esquerdo se torna a derivada do produto:
Explico por que: derivando
dá
e
, então o somatório é
, que é exatamente o lado esquerdo original multiplicado por
.
Passo 4
Integramos ambos os lados em relação a
. Tomando uma primitiva, obtemos
onde
é constante de integração. Aqui, a integral à direita pode ser escrita como soma de duas integrais:
Essas primitivar não têm uma forma elementar simples (pelo menos não de maneira direta), então é perfeitamente aceitável manter a solução envolvendo uma integral. Para aplicar a condição inicial é mais prático usar integrais definidas.
Passo 5
Usamos integrais definidas de
até
para eliminar diretamente a constante
com a condição inicial. Integrando a igualdade do Passo 3 de
até
(uso
como variável de integração) obtemos:
Aqui substituí
como variável de integração para ficar claro que é uma integral definida. Note que
e
, e a condição inicial diz
.
Passo 6
Isolando
e substituindo
e
, obtemos
Multiplicando por
para deixar
explícito:
Expliquei passo a passo: primeiro encontramos o fator integrante, transformamos a equação no formato da derivada de um produto, integramos (usei integral definida para encaixar a condição inicial sem calcular constante) e finalmente isolei
. A integral dentro da solução é bem definida e usa a variável de integração
.
Passo 7
Verificação rápida da condição inicial: para
temos
e a integral de
a
é
, então
logo a condição inicial é satisfeita. Esta é a solução única da equação linear com a condição dada.