Resolva os problemas de valor inicial:
\left\{\begin{array}{l}y^{\prime}-\cos t y=t e^{t^{2}}+\operatorname{sen} t \\\ y(0)=2\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial com condição inicial:
\begin{cases} y'(t)-\cos t\,y(t)=t e^{t^{2}}+\sin t,\\[4pt] y(0)=2. \end{cases}
O que precisa ser encontrado é a função y(t) que satisfaz a equação diferencial para todo t do domínio (assumimos aqui t\in\mathbb{R}) e que também satisfaz a condição inicial y(0)=2.
As informações relevantes são:
\;y' significa derivada de y em relação a t;
o termo multiplicando y é -\cos t;
o segundo membro (função forçante) é t e^{t^{2}}+\sin t;
a condição inicial é y(0)=2.]

Passo 2

Vamos usar o método do fator integrante (variação de constante também é equivalente). Vou explicar o que é e por que usamos: para uma equação linear de primeira ordem escrita na forma
y'+p(t)\,y=q(t),
o fator integrante é uma função \mu(t) definida por
\mu(t)=\exp\!\Big(\int p(t)\,dt\Big).
Multiplicar a equação por \mu(t) transforma o lado esquerdo na derivada do produto \mu(t)y(t), o que facilita integrar. Aqui devemos primeiro escrever a equação no formato y'+p(t)y=q(t). A equação dada é
y'-\cos t\,y = t e^{t^{2}}+\sin t,
logo identificamos p(t)=-\cos t e q(t)=t e^{t^{2}}+\sin t.

Passo 3

Calculemos o fator integrante \mu(t):
\mu(t)=\exp\!\Big(\int p(t)\,dt\Big)=\exp\!\Big(\int -\cos t\,dt\Big)=\exp\!\big(-\sin t\big)=e^{-\sin t}.
Agora multiplicamos toda a equação por \mu(t)=e^{-\sin t}. O lado esquerdo se torna a derivada do produto:
\big(e^{-\sin t}y(t)\big)' = e^{-\sin t}\big(t e^{t^{2}}+\sin t\big).
Explico por que: derivando e^{-\sin t}y(t) e^{-\sin t}y'(t) + (e^{-\sin t})'y(t) e (e^{-\sin t})' = -\cos t\,e^{-\sin t}, então o somatório é e^{-\sin t}\big(y'(t)-\cos t\,y(t)\big), que é exatamente o lado esquerdo original multiplicado por e^{-\sin t}.

Passo 4

Integramos ambos os lados em relação a t. Tomando uma primitiva, obtemos
e^{-\sin t}y(t)=\int e^{-\sin t}\big(t e^{t^{2}}+\sin t\big)\,dt + C,
onde C é constante de integração. Aqui, a integral à direita pode ser escrita como soma de duas integrais:
\int e^{-\sin t}\,t e^{t^{2}}\,dt \quad\text{e}\quad \int e^{-\sin t}\sin t\,dt.
Essas primitivar não têm uma forma elementar simples (pelo menos não de maneira direta), então é perfeitamente aceitável manter a solução envolvendo uma integral. Para aplicar a condição inicial é mais prático usar integrais definidas.

Passo 5

Usamos integrais definidas de 0 até t para eliminar diretamente a constante C com a condição inicial. Integrando a igualdade do Passo 3 de s=0 até s=t (uso s como variável de integração) obtemos:
e^{-\sin t}y(t)-e^{-\sin 0}y(0)=\int_{0}^{t} e^{-\sin s}\big(s e^{s^{2}}+\sin s\big)\,ds.
Aqui substituí s como variável de integração para ficar claro que é uma integral definida. Note que \sin 0=0 e e^{-\sin 0}=e^{0}=1, e a condição inicial diz y(0)=2.

Passo 6

Isolando y(t) e substituindo y(0)=2 e e^{-\sin 0}=1, obtemos
e^{-\sin t}y(t)=2+\int_{0}^{t} e^{-\sin s}\big(s e^{s^{2}}+\sin s\big)\,ds.
Multiplicando por e^{\sin t} para deixar y(t) explícito:
y(t)=e^{\sin t}\left[\,2+\int_{0}^{t} e^{-\sin s}\big(s e^{s^{2}}+\sin s\big)\,ds\right].
Expliquei passo a passo: primeiro encontramos o fator integrante, transformamos a equação no formato da derivada de um produto, integramos (usei integral definida para encaixar a condição inicial sem calcular constante) e finalmente isolei y(t). A integral dentro da solução é bem definida e usa a variável de integração s.

Passo 7

Verificação rápida da condição inicial: para t=0 temos \sin 0=0 e a integral de 0 a 0 é 0, então
y(0)=e^{0}\big[2+0\big]=2,
logo a condição inicial é satisfeita. Esta é a solução única da equação linear com a condição dada.

Resposta

y(t)=e^{\sin t}\left[\,2+\int_{0}^{t} e^{-\sin s}\big(s e^{s^{2}}+\sin s\big)\,ds\right]

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