Questão 3. (1.5 pt) Determine a equação do plano tangente ao gráfico da função f(x, y)=x \cdot \sqrt{y} no ponto (1,4,2).

Passo 1

O enunciado pede: determinar a equação do plano tangente ao gráfico da função \,f(x,y)=x\sqrt{y}\, no ponto \,(1,4,2).\n
Informações dadas e relevantes:\n
  • A função é \,f(x,y)=x\sqrt{y}\,.\n
  • O ponto do gráfico onde queremos o plano tangente é \,(1,4,2)\,. Isso significa que as coordenadas x=1, y=4 e z=2 estão relacionadas ao valor de \,f\, naquele ponto (ou seja, o terceiro componente 2 é o valor de \,f(1,4)\,).\n
  • Precisamos encontrar uma equação do plano que “toca” o gráfico de f naquele ponto, ou seja, o plano que melhor aproxima z=f(x,y) perto de (1,4).

Passo 2

Qual método vamos usar e por que: para funções de duas variáveis a equação do plano tangente no ponto (a,b,f(a,b)) é dada pela aproximação linear (fórmula do plano tangente). A forma geral dessa fórmula é
L(x,y)=f(a,b)+f_x(a,b)\,(x-a)+f_y(a,b)\,(y-b).
Explicando cada termo de forma bem prática:\n
  • \,f(a,b)\, é o valor da função no ponto de tangência (o ponto sobre o gráfico).\n
  • \,f_x(a,b)\, é a derivada parcial de f em relação a x avaliada em (a,b). Ela mede a inclinação do gráfico na direção do eixo x quando y fica fixo.\n
  • \,f_y(a,b)\, é a derivada parcial de f em relação a y avaliada em (a,b). Ela mede a inclinação do gráfico na direção do eixo y quando x fica fixo.\n
    Essa fórmula vem da linearização: aproximamos f por uma função afim que coincide com f e suas variações parciais no ponto de interesse.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais de \,f(x,y)=x\sqrt{y}=x\,y^{1/2}\,.\n
Derivada parcial em relação a x: tratamos y como constante. Usando regra do produto simples,
f_x(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}\big(x\,y^{1/2}\big)=y^{1/2}.
Aqui y^{1/2} é visto como constante multiplicando x, então a derivada de x é 1, sobrando y^{1/2}.\n
Derivada parcial em relação a y: tratamos x como constante. Usamos a regra da potência para y^{1/2}: a derivada de y^{1/2} é \tfrac{1}{2}y^{-1/2}=\tfrac{1}{2\sqrt{y}}. Multiplicando pelo fator constante x, obtemos
f_y(x,y)=x\cdot\frac{1}{2}y^{-1/2}=\frac{x}{2\sqrt{y}}.
Pequeno lembrete didático: a regra da potência diz que \frac{d}{dy}y^{n}=n\,y^{n-1}. Aqui n=\tfrac{1}{2}.

Passo 4

Agora avaliamos essas derivadas no ponto (a,b)=(1,4).\n
Calculemos \,f_x(1,4)\,:
f_x(1,4)=\sqrt{4}=2.
Calculemos \,f_y(1,4)\,:
f_y(1,4)=\frac{1}{2\sqrt{4}}=\frac{1}{2\cdot 2}=\frac{1}{4}.
Também podemos verificar o valor da função no ponto:
f(1,4)=1\cdot\sqrt{4}=2,
o que coincide com a coordenada z=2 do ponto dado (1,4,2).

Passo 5

Substituímos os valores na fórmula do plano tangente:
L(x,y)=f(1,4)+f_x(1,4)\,(x-1)+f_y(1,4)\,(y-4).
Agora colocamos os números:
L(x,y)=2+2\,(x-1)+\frac{1}{4}\,(y-4).
Desenvolvendo e simplificando passo a passo:\n
Primeiro 2+2(x-1)=2+2x-2=2x.\n
Depois \frac{1}{4}(y-4)=\frac{1}{4}y-1.\n
Somando as duas partes:
L(x,y)=2x+\frac{1}{4}y-1.
Essa função afim L(x,y) dá o valor de z no plano tangente; logo a equação do plano é
z=2x+\frac{1}{4}y-1.

Passo 6

Verificação rápida: substituindo (x,y)=(1,4) na equação do plano obtemos
z=2\cdot1+\frac{1}{4}\cdot4-1=2+1-1=2,
que é exatamente a coordenada z do ponto dado, como esperado. Uma forma alternativa de escrever o mesmo plano (colocando todos os termos de um lado) é
2x+\frac{1}{4}y-z-1=0,
mas ambas as formas representam o mesmo plano tangente.

Resposta

z=2x+\dfrac{1}{4}y-1

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