Questão 3. (1.5 pt) Determine a equação do plano tangente ao gráfico da função
no ponto
.
Passo 1
O enunciado pede: determinar a equação do plano tangente ao gráfico da função
no ponto
.\n
Informações dadas e relevantes:\n
Informações dadas e relevantes:\n
- A função é
.\n - O ponto do gráfico onde queremos o plano tangente é
. Isso significa que as coordenadas , e estão relacionadas ao valor de naquele ponto (ou seja, o terceiro componente é o valor de ).\n - Precisamos encontrar uma equação do plano que “toca” o gráfico de
naquele ponto, ou seja, o plano que melhor aproxima perto de .
Passo 2
Qual método vamos usar e por que: para funções de duas variáveis a equação do plano tangente no ponto
é dada pela aproximação linear (fórmula do plano tangente). A forma geral dessa fórmula é
Explicando cada termo de forma bem prática:\n
-
é o valor da função no ponto de tangência (o ponto sobre o gráfico).\n -
é a derivada parcial de em relação a avaliada em . Ela mede a inclinação do gráfico na direção do eixo quando fica fixo.\n -
é a derivada parcial de em relação a avaliada em . Ela mede a inclinação do gráfico na direção do eixo quando fica fixo.\n
Essa fórmula vem da linearização: aproximamospor uma função afim que coincide com e suas variações parciais no ponto de interesse.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais de
.\n
Derivada parcial em relação a : tratamos
como constante. Usando regra do produto simples,
Derivada parcial em relação a
Aqui
é visto como constante multiplicando
, então a derivada de
é
, sobrando
.\n
Derivada parcial em relação a : tratamos
como constante. Usamos a regra da potência para
: a derivada de
é
. Multiplicando pelo fator constante
, obtemos
Derivada parcial em relação a
Pequeno lembrete didático: a regra da potência diz que
. Aqui
.
Passo 4
Agora avaliamos essas derivadas no ponto
.\n
Calculemos :
Calculemos
Calculemos
:
Também podemos verificar o valor da função no ponto:
o que coincide com a coordenada
do ponto dado
.
Passo 5
Substituímos os valores na fórmula do plano tangente:
Agora colocamos os números:
Desenvolvendo e simplificando passo a passo:\n
Primeiro \n
Depois \n
Somando as duas partes:
Primeiro
Depois
Somando as duas partes:
Essa função afim
dá o valor de
no plano tangente; logo a equação do plano é
Passo 6
Verificação rápida: substituindo
na equação do plano obtemos
que é exatamente a coordenada
do ponto dado, como esperado. Uma forma alternativa de escrever o mesmo plano (colocando todos os termos de um lado) é
mas ambas as formas representam o mesmo plano tangente.