Questão 3. Simplifique a expressão
Passo 1
O enunciado pede para simplificar a soma
Informações dadas: a soma é sobre
indo de
até
. A tarefa é transformar essa expressão numa forma fechada (uma fórmula em
), ou seja, eliminar o somatório e escrever o resultado simplificado em termos de
. Não há outros dados ocultos nem restrições adicionais.
Passo 2
Primeiro passo técnico: usar a linearidade da soma, que diz que a soma de uma soma é a soma das somas. Em palavras: podemos separar a soma de
em duas somas mais simples. Assim,
Além disso, como
é constante em relação a
, podemos tirá-la fora do somatório:
Logo a expressão vira
Passo 3
Agora precisamos das fórmulas conhecidas (e muito úteis) para
e
.
A primeira é
Explicando por que essa fórmula funciona (método de emparelhamento): escreva a soma para frente e para trás,
Somando termo a termo obtemos
com
parcelas, então
e portanto
. É um argumento simples e direto que dá a fórmula.
Passo 4
A segunda fórmula é
Vou demonstrar essa fórmula por indução (uma demonstração curta e prática, boa para prova).
Base: para
temos
e a fórmula dá
. OK.
Passo indutivo: suponha que para algum
a fórmula valha:
Então para
temos
Pelo passo indutivo substituímos:
Colocando em evidência
e fazendo as contas:
Colocando tudo sobre o mesmo denominador
:
Multiplicando os fatores dá
que é a fórmula com
substituído por
. Assim a indução fecha, e a fórmula é válida para todo
.
Passo 5
Agora aplicamos as duas fórmulas no nosso somatório, lembrando da decomposição do Passo 2:
No segundo termo o
cancela:
Passo 6
Agora simplificamos a expressão somando os termos que têm o fator comum
. Colocamos tudo sobre o mesmo denominador
:
Somando os numeradores:
Passo 7
Verificação rápida com um exemplo numérico para ganhar confiança (eu sempre faço isso quando estou nervoso na prova): tome
.
À esquerda:
À direita com a fórmula: Confere.
À esquerda:
À direita com a fórmula: