Questão 3. Simplifique a expressão
\sum_{k=1}^{n}\left(k^{2}+2 k\right)

Passo 1

O enunciado pede para simplificar a soma
\sum_{k=1}^{n}\left(k^{2}+2k\right).
Informações dadas: a soma é sobre k indo de 1 até n. A tarefa é transformar essa expressão numa forma fechada (uma fórmula em n), ou seja, eliminar o somatório e escrever o resultado simplificado em termos de n. Não há outros dados ocultos nem restrições adicionais.

Passo 2

Primeiro passo técnico: usar a linearidade da soma, que diz que a soma de uma soma é a soma das somas. Em palavras: podemos separar a soma de k^{2}+2k em duas somas mais simples. Assim,
\sum_{k=1}^{n}\left(k^{2}+2k\right)=\sum_{k=1}^{n}k^{2}+ \sum_{k=1}^{n}2k.
Além disso, como 2 é constante em relação a k, podemos tirá-la fora do somatório:
\sum_{k=1}^{n}2k = 2\sum_{k=1}^{n}k.
Logo a expressão vira
\sum_{k=1}^{n}\left(k^{2}+2k\right)=\sum_{k=1}^{n}k^{2}+2\sum_{k=1}^{n}k.

Passo 3

Agora precisamos das fórmulas conhecidas (e muito úteis) para \sum_{k=1}^{n}k e \sum_{k=1}^{n}k^{2}.
A primeira é
\sum_{k=1}^{n}k=\frac{n(n+1)}{2}.
Explicando por que essa fórmula funciona (método de emparelhamento): escreva a soma para frente e para trás,
S = 1+2+3+\dots +n,
S = n+(n-1)+(n-2)+\dots +1.
Somando termo a termo obtemos 2S = (n+1)+(n+1)+\dots+(n+1) com n parcelas, então 2S = n(n+1) e portanto S=\dfrac{n(n+1)}{2}. É um argumento simples e direto que dá a fórmula.

Passo 4

A segunda fórmula é
\sum_{k=1}^{n}k^{2}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}.
Vou demonstrar essa fórmula por indução (uma demonstração curta e prática, boa para prova).
Base: para n=1 temos \sum_{k=1}^{1}k^{2}=1^{2}=1 e a fórmula dá \dfrac{1\cdot 2\cdot 3}{6}=1. OK.
Passo indutivo: suponha que para algum n a fórmula valha:
\sum_{k=1}^{n}k^{2}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}.
Então para n+1 temos
\sum_{k=1}^{n+1}k^{2}=\left(\sum_{k=1}^{n}k^{2}\right)+(n+1)^{2}.
Pelo passo indutivo substituímos:
\sum_{k=1}^{n+1}k^{2}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}+(n+1)^{2}.
Colocando em evidência n+1 e fazendo as contas:
\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}+(n+1)^{2}=(n+1)\left(\frac{n(2n+1)}{6}+(n+1)\right).
Colocando tudo sobre o mesmo denominador 6:
(n+1)\left(\frac{n(2n+1)+6(n+1)}{6}\right)=(n+1)\left(\frac{2n^{2}+n+6n+6}{6}\right)
=(n+1)\left(\frac{2n^{2}+7n+6}{6}\right)=(n+1)\left(\frac{(n+2)(2n+3)}{6}\right).
Multiplicando os fatores dá
\frac{(n+1)(n+2)(2n+3)}{6},
que é a fórmula com n substituído por n+1. Assim a indução fecha, e a fórmula é válida para todo n\in\mathbb{N}.

Passo 5

Agora aplicamos as duas fórmulas no nosso somatório, lembrando da decomposição do Passo 2:
\sum_{k=1}^{n}\left(k^{2}+2k\right)=\sum_{k=1}^{n}k^{2}+2\sum_{k=1}^{n}k
=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}+2\cdot\frac{n(n+1)}{2}.
No segundo termo o 2 cancela:
= \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + n(n+1).

Passo 6

Agora simplificamos a expressão somando os termos que têm o fator comum n(n+1). Colocamos tudo sobre o mesmo denominador 6:
\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + n(n+1) = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + \frac{6\,n(n+1)}{6}.
Somando os numeradores:
\frac{n(n+1)\bigl(2n+1+6\bigr)}{6}=\frac{n(n+1)(2n+7)}{6}.

Passo 7

Verificação rápida com um exemplo numérico para ganhar confiança (eu sempre faço isso quando estou nervoso na prova): tome n=3.
À esquerda: \sum_{k=1}^{3}(k^{2}+2k)= (1+2)+(4+4)+(9+6)=3+8+15=26.
À direita com a fórmula: \dfrac{3\cdot 4\cdot(2\cdot 3+7)}{6}=\dfrac{12\cdot 13}{6}=\dfrac{156}{6}=26. Confere.

Resposta

\frac{n(n+1)(2n+7)}{6}

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