Questão 4
(a) (1,0) Calcule a variação da energia eletrostática do sistema depois da introdução da lâmina metálica em função de b, d, V_{0} e C_{0}, onde C_{0}=\epsilon_{0} L^{2} / d.
(b) (1,0) A energia eletrostática aumentou ou diminuiu? Justifique a sua resposta.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas depois da introdução de uma lâmina metálica entre as placas de um capacitor paralelo:
  • (a) Calcular a variação da energia eletrostática do sistema em função de b,\;d,\;V_{0} e C_{0}, sabendo que \;C_{0}=\epsilon_{0}L^{2}/d.
  • (b) Dizer se a energia eletrostática aumentou ou diminuiu e justificar.
Informações dadas (resumidas e explícitas):
  • A capacitância inicial do capacitor é \;C_{0}=\epsilon_{0}L^{2}/d.
  • A diferença de potencial entre as placas antes e depois é \;V_{0} (ou seja, assumimos que o potencial é mantido fixo em \;V_{0}, por exemplo por uma bateria).
  • Uma lâmina metálica de espessura \;b é inserida no espaço entre as placas; a separação original entre placas é \;d.
  • Pressupomos que a lâmina não toca as placas e que \;0<b<d (senão não faria sentido físico).
Não vou ainda resolver nada aqui — só deixei claro o que o problema pede e quais dados temos.

Passo 2

Conceito importante: capacitância de placas paralelas e efeito da lâmina metálica.
  • A capacitância de um capacitor de placas paralelas preenchidas por vácuo (ou ar) com área \;A=L^{2} e separação \;s é dada por
C=\frac{\epsilon_{0}A}{s}.
Aqui \epsilon_{0} é a permissividade do vácuo, A é a área das placas e s é a distância efetiva onde existe campo elétrico entre as placas.
  • Quando inserimos uma lâmina metálica de espessura \;b no interior do capacitor, o campo elétrico dentro do metal é nulo ( E=0). Logo, o desnível de potencial entre as placas ocorre somente nas regiões de vácuo sobrantes. Essas regiões têm espessura total igual a d-b (a lâmina “remove” da região ativa a espessura b). Portanto a separação efetiva onde existe campo é \;d-b.
  • Assim, a nova capacitância C após a inserção da lâmina é, pela fórmula de cima com s=d-b e A=L^{2},
C=\frac{\epsilon_{0}L^{2}}{\,d-b\,}.

Passo 3

Escrever C em termos de C_{0}.
Sabemos que \;C_{0}=\dfrac{\epsilon_{0}L^{2}}{d}. Comparando com a nova capacitância,
C=\frac{\epsilon_{0}L^{2}}{d-b} = C_{0}\,\frac{d}{\,d-b\,}.
Explicando: multiplicamos e dividimos por d para relacionar com C_{0}. Essa fórmula mostra imediatamente que C>C_{0} quando b>0 (desde que d-b>0).

Passo 4

Energia armazenada em capacitor com tensão fixa e cálculo da variação.
Para um capacitor mantido à diferença de potencial fixa \;V_{0}, a energia eletrostática armazenada é
U=\frac{1}{2} C V_{0}^{2},
onde C é a capacitância atual e V_{0} a tensão entre placas. Todas as variáveis: U energia, C capacitância, V_{0} tensão.
  • Energia inicial (antes da lâmina):
U_{0}=\frac{1}{2}C_{0}V_{0}^{2}.
  • Energia após a lâmina (usando C=C_{0}\dfrac{d}{d-b}):
U=\frac{1}{2}C V_{0}^{2}=\frac{1}{2}C_{0}\frac{d}{\,d-b\,}V_{0}^{2}.
  • Variação da energia \Delta U = U - U_{0}:
\Delta U = \frac{1}{2}C_{0}V_{0}^{2}\!\left(\frac{d}{\,d-b\,}-1\right).
Agora simplificamos o parêntese:
\frac{d}{\,d-b\,}-1=\frac{d-(d-b)}{\,d-b\,}=\frac{b}{\,d-b\,}.
Logo
\Delta U = \frac{1}{2}C_{0}V_{0}^{2}\,\frac{b}{\,d-b\,}.
Se preferir ver explicitamente em termos de \epsilon_{0} e L^{2}, substituindo C_{0}=\dfrac{\epsilon_{0}L^{2}}{d} obtemos
\Delta U = \frac{1}{2}\frac{\epsilon_{0}L^{2}}{d}V_{0}^{2}\,\frac{b}{\,d-b\,}.

Passo 5

Análise do sinal e justificativa física (resposta a (b)).
  • Pela expressão \Delta U=\dfrac{1}{2}C_{0}V_{0}^{2}\dfrac{b}{d-b}, e sabendo que C_{0}>0,\;V_{0}^{2}>0 e b/(d-b)>0 para 0<b<d, segue que \Delta U>0. Portanto a energia armazenada aumentou.
Física intuitiva e justificativa prática (para você entender na prova):
  • Com a tensão mantida fixa (capacitor ligado a uma bateria), quando a lâmina é inserida a capacitância aumenta. Para manter a mesma tensão a bateria fornece carga adicional, e essa carga extra armazena energia extra no capacitor — por isso a energia aumenta.
  • Observação contrastante (útil para não se confundir): se o capacitor estivesse isolado (carga Q fixa), a energia seria U=Q^{2}/(2C) e, como C aumenta ao inserir a lâmina, U diminuiria. Então o sinal da variação depende de o sistema estar a tensão fixa (aqui, aumenta) ou a carga fixa (diminui). Isso é um ponto clássico que costuma cair em prova — anote no seu caderno.

Resposta

(a) \displaystyle \Delta U=\frac{1}{2}\,C_{0}V_{0}^{2}\,\frac{b}{d-b}.\n
(b) A energia eletrostática aumentou.

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