Questão 4
(a)
Calcule a variação da energia eletrostática do sistema depois da introdução da lâmina metálica em função de
e
, onde
.
(b)
A energia eletrostática aumentou ou diminuiu? Justifique a sua resposta.
(a)
(b)
Passo 1
O enunciado pede duas coisas depois da introdução de uma lâmina metálica entre as placas de um capacitor paralelo:
- (a) Calcular a variação da energia eletrostática do sistema em função de
e , sabendo que . - (b) Dizer se a energia eletrostática aumentou ou diminuiu e justificar.
Informações dadas (resumidas e explícitas):
- A capacitância inicial do capacitor é
. - A diferença de potencial entre as placas antes e depois é
(ou seja, assumimos que o potencial é mantido fixo em , por exemplo por uma bateria). - Uma lâmina metálica de espessura
é inserida no espaço entre as placas; a separação original entre placas é . - Pressupomos que a lâmina não toca as placas e que
(senão não faria sentido físico).
Não vou ainda resolver nada aqui — só deixei claro o que o problema pede e quais dados temos.
Passo 2
Conceito importante: capacitância de placas paralelas e efeito da lâmina metálica.
- A capacitância de um capacitor de placas paralelas preenchidas por vácuo (ou ar) com área
e separação é dada por
Aqui
é a permissividade do vácuo,
é a área das placas e
é a distância efetiva onde existe campo elétrico entre as placas.
-
Quando inserimos uma lâmina metálica de espessura
no interior do capacitor, o campo elétrico dentro do metal é nulo ( ). Logo, o desnível de potencial entre as placas ocorre somente nas regiões de vácuo sobrantes. Essas regiões têm espessura total igual a (a lâmina “remove” da região ativa a espessura ). Portanto a separação efetiva onde existe campo é . -
Assim, a nova capacitância
após a inserção da lâmina é, pela fórmula de cima com e ,
Passo 3
Escrever
em termos de
.
Sabemos que
. Comparando com a nova capacitância,
Explicando: multiplicamos e dividimos por
para relacionar com
. Essa fórmula mostra imediatamente que
quando
(desde que
).
Passo 4
Energia armazenada em capacitor com tensão fixa e cálculo da variação.
Para um capacitor mantido à diferença de potencial fixa
, a energia eletrostática armazenada é
onde
é a capacitância atual e
a tensão entre placas. Todas as variáveis:
energia,
capacitância,
tensão.
- Energia inicial (antes da lâmina):
- Energia após a lâmina (usando
):
- Variação da energia
:
Agora simplificamos o parêntese:
Logo
Se preferir ver explicitamente em termos de
e
, substituindo
obtemos
Passo 5
Análise do sinal e justificativa física (resposta a (b)).
- Pela expressão
, e sabendo que e para , segue que . Portanto a energia armazenada aumentou.
Física intuitiva e justificativa prática (para você entender na prova):
- Com a tensão mantida fixa (capacitor ligado a uma bateria), quando a lâmina é inserida a capacitância aumenta. Para manter a mesma tensão a bateria fornece carga adicional, e essa carga extra armazena energia extra no capacitor — por isso a energia aumenta.
- Observação contrastante (útil para não se confundir): se o capacitor estivesse isolado (carga
fixa), a energia seria e, como aumenta ao inserir a lâmina, diminuiria. Então o sinal da variação depende de o sistema estar a tensão fixa (aqui, aumenta) ou a carga fixa (diminui). Isso é um ponto clássico que costuma cair em prova — anote no seu caderno.
Resposta
(a)
\n
(b) A energia eletrostática aumentou.
(b) A energia eletrostática aumentou.