Questão 3.
Considere um capacitor esférico composto por uma esfera interna de raio
(com carga
e por uma casca esférica externa de raio
(com carga
), ambos centrados no mesmo ponto. Considerando
como a coordenada radial a partir do centro da esfera, calcule:
(a)
O campo elétrico e a densidade de energia nas seguintes regiões:(i)
, (ii)
, (iii)
.
(b)
A capacitância desse capacitor esférico.
(c)
valor total da energia potencial elétrica no capacitor.
(d)
A distância, a partir de
, para a qual temos metade da energia potencial elétrica total desse capacitor esférico.
(a)
(b)
(c)
(d)
Passo 1
O enunciado dá um capacitor esférico formado por uma esfera condutora interna de raio
com carga
e por uma casca esférica condutora externa de raio
com carga
, ambos concêntricos. A coordenada radial a partir do centro é
. Perguntas:
(a) Calcular o campo elétrico e a densidade de energia nas regiões (i) , (ii)
, (iii)
.
(b) Calcular a capacitância do capacitor esférico.
(c) Calcular o valor total da energia potencial elétrica armazenada no capacitor.
(d) Encontrar a distância, a partir de , tal que até essa distância (ou seja, entre
e
essa distância) esteja metade da energia total.
(a) Calcular o campo elétrico e a densidade de energia nas regiões (i)
(b) Calcular a capacitância do capacitor esférico.
(c) Calcular o valor total da energia potencial elétrica armazenada no capacitor.
(d) Encontrar a distância, a partir de
Informações relevantes dadas: cargas
e
, raios
e
. Assumo meio livre (vácuo) com permissividade
. Não há outras fontes externas.
Passo 2
Vamos achar o campo elétrico usando a Lei de Gauss. Lembra que a Lei de Gauss diz que o fluxo elétrico pela superfície gaussiana é igual à carga içada por ela dividida por
. Em notação:
Escolhemos superfícies esféricas coaxiais (simetria esférica), então
é radial e constante em cada superfície de raio
, daí
Agora aplicamos por região.
Passo 3
Região (i)
: dentro de um condutor em equilíbrio eletrostático o campo elétrico é zero e carga líquida reside na superfície. Portanto
Região (ii)
: uma superfície gaussiana de raio
envolve apenas a carga
da esfera interna, então
e
direção radial para fora. Região (iii)
: a gaussiana envolve
e
(soma zero), logo
e
Passo 4
Agora a densidade de energia do campo elétrico. A fórmula que usamos é a clássica para energia volumétrica do campo elétrico no vácuo:
Aplicamos por região usando os
obtidos.
Passo 5
Calculemos
em cada região:
- Para
: como ,
- Para
: substituímos em . Primeiro calculando :
Multiplicando por
obtemos
- Para
: então
Passo 6
Agora a capacitância (parte b). A definição prática é
, onde
é a diferença de potencial entre as duas superfícies condutoras. Calculamos
integrando o campo elétrico radial:
(atenção ao sinal: aqui usamos a integral do campo ao longo do raio saindo de
em direção a
; com
radial para fora e escolhendo potencial decrescente com
a expressão de módulo serve). Substituindo
,
Portanto a capacitância é
Essa é a forma conhecida do capacitor esférico.
Passo 7
Agora a energia total armazenada (parte c). Duas maneiras equivalentes: (i) integrar a densidade de energia no volume onde há campo, ou (ii) usar a fórmula
ou
. Vou fazer pela integral de
para reforçar o conceito de energia volumétrica:
Energia total
pois
fora desse intervalo. Substituindo
e multiplicando por
,
Integramos
. Assim
Se quisermos, podemos reescrever usando
: como
, obtém-se
, consistindo com a fórmula usual. Ambas coincidem com a expressão acima.
Passo 8
Parte (d): queremos a posição radial
(ou a distância a partir de
) tal que a energia contida entre
e esse
seja metade da energia total. Definimos a energia acumulada até um raio
com
:
Queremos
. Como
, a condição é
Agora resolvemos essa equação para
.
Passo 9
Resolvendo a equação do passo anterior:
multiplicando por 2:
Isolando
:
Invertendo:
A distância medida a partir de
é
Resposta
(a)(i)
para
.\n(a)(ii)
(radial para fora),
para
.\n(a)(iii)
para
.\n(b)
\n(c)
\n(d) Raio a partir do centro:
. Distância a partir de
: