Questão 3. (\mathbf{3 , 5}) Considere um capacitor esférico composto por uma esfera interna de raio R_{1} (com carga +Q) e por uma casca esférica externa de raio R_{2} (com carga -Q ), ambos centrados no mesmo ponto. Considerando r como a coordenada radial a partir do centro da esfera, calcule:
(a) (\mathbf{1}, \mathbf{0}) O campo elétrico e a densidade de energia nas seguintes regiões:(i) r<R_{1}, (ii) R_{1}<r<R_{2}, (iii) r>R_{2}.
(b) (\mathbf{1 , 0}) A capacitância desse capacitor esférico.
(c) (\mathbf{1}, \mathbf{0}) \mathrm{O} valor total da energia potencial elétrica no capacitor.
(d) (\mathbf{0 , 5}) A distância, a partir de R_{1}, para a qual temos metade da energia potencial elétrica total desse capacitor esférico.

Passo 1

O enunciado dá um capacitor esférico formado por uma esfera condutora interna de raio R_{1} com carga +Q e por uma casca esférica condutora externa de raio R_{2} com carga -Q, ambos concêntricos. A coordenada radial a partir do centro é r. Perguntas:
(a) Calcular o campo elétrico e a densidade de energia nas regiões (i) r<R_{1}, (ii) R_{1}<r<R_{2}, (iii) r>R_{2}.
(b) Calcular a capacitância do capacitor esférico.
(c) Calcular o valor total da energia potencial elétrica armazenada no capacitor.
(d) Encontrar a distância, a partir de R_{1}, tal que até essa distância (ou seja, entre R_{1} e R_{1}+ essa distância) esteja metade da energia total.
Informações relevantes dadas: cargas +Q e -Q, raios R_{1} e R_{2}. Assumo meio livre (vácuo) com permissividade \varepsilon_{0}. Não há outras fontes externas.

Passo 2

Vamos achar o campo elétrico usando a Lei de Gauss. Lembra que a Lei de Gauss diz que o fluxo elétrico pela superfície gaussiana é igual à carga içada por ela dividida por \varepsilon_{0}. Em notação:
\oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=\frac{Q_{\text{enc}}}{\varepsilon_{0}}.
Escolhemos superfícies esféricas coaxiais (simetria esférica), então \mathbf{E} é radial e constante em cada superfície de raio r, daí
E(r)\cdot 4\pi r^{2}=\frac{Q_{\text{enc}}}{\varepsilon_{0}} \quad\Rightarrow\quad E(r)=\frac{Q_{\text{enc}}}{4\pi\varepsilon_{0}r^{2}}.
Agora aplicamos por região.

Passo 3

Região (i) r<R_{1}: dentro de um condutor em equilíbrio eletrostático o campo elétrico é zero e carga líquida reside na superfície. Portanto
E(r)=0\quad\text{para}\quad r<R_{1}.
Região (ii) R_{1}<r<R_{2}: uma superfície gaussiana de raio r envolve apenas a carga +Q da esfera interna, então Q_{\text{enc}}=+Q e
E(r)=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_{0}r^{2}}\quad\text{para}\quad R_{1}<r<R_{2},
direção radial para fora. Região (iii) r>R_{2}: a gaussiana envolve +Q e -Q (soma zero), logo Q_{\text{enc}}=0 e
E(r)=0\quad\text{para}\quad r>R_{2}.

Passo 4

Agora a densidade de energia do campo elétrico. A fórmula que usamos é a clássica para energia volumétrica do campo elétrico no vácuo:
u(r)=\tfrac{1}{2}\varepsilon_{0}E(r)^{2}.
Aplicamos por região usando os E(r) obtidos.

Passo 5

Calculemos u(r) em cada região:
  • Para r<R_{1}: como E=0,
u(r)=0\quad\text{para}\quad r<R_{1}.
  • Para R_{1}<r<R_{2}: substituímos E(r)=\dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_{0}r^{2}} em u=\tfrac{1}{2}\varepsilon_{0}E^{2}. Primeiro calculando E^{2}:
E(r)^{2}=\frac{Q^{2}}{16\pi^{2}\varepsilon_{0}^{2}r^{4}}.
Multiplicando por \tfrac{1}{2}\varepsilon_{0} obtemos
u(r)=\frac{Q^{2}}{32\pi^{2}\varepsilon_{0}r^{4}}\quad\text{para}\quad R_{1}<r<R_{2}.
  • Para r>R_{2}: E=0 então
u(r)=0\quad\text{para}\quad r>R_{2}.

Passo 6

Agora a capacitância (parte b). A definição prática é \displaystyle C=\frac{Q}{V}, onde V é a diferença de potencial entre as duas superfícies condutoras. Calculamos V integrando o campo elétrico radial:
V=V(R_{1})-V(R_{2})=\int_{R_{1}}^{R_{2}} E(r)\,dr
(atenção ao sinal: aqui usamos a integral do campo ao longo do raio saindo de R_{1} em direção a R_{2}; com E radial para fora e escolhendo potencial decrescente com r a expressão de módulo serve). Substituindo E(r)=\dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_{0}r^{2}},
V=\int_{R_{1}}^{R_{2}}\frac{Q}{4\pi\varepsilon_{0}r^{2}}\,dr =\frac{Q}{4\pi\varepsilon_{0}}\left[-\frac{1}{r}\right]_{R_{1}}^{R_{2}} =\frac{Q}{4\pi\varepsilon_{0}}\left(\frac{1}{R_{1}}-\frac{1}{R_{2}}\right).
Portanto a capacitância é
C=\frac{Q}{V}=\frac{Q}{\dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_{0}}\left(\dfrac{1}{R_{1}}-\dfrac{1}{R_{2}}\right)} =4\pi\varepsilon_{0}\frac{R_{1}R_{2}}{R_{2}-R_{1}}.
Essa é a forma conhecida do capacitor esférico.

Passo 7

Agora a energia total armazenada (parte c). Duas maneiras equivalentes: (i) integrar a densidade de energia no volume onde há campo, ou (ii) usar a fórmula U=\tfrac{1}{2}CV^{2} ou U=\dfrac{Q^{2}}{2C}. Vou fazer pela integral de u(r) para reforçar o conceito de energia volumétrica:
Energia total
U=\int_{\text{tudo}} u(r)\,dV =\int_{R_{1}}^{R_{2}} u(r)\,4\pi r^{2}\,dr,
pois u(r)=0 fora desse intervalo. Substituindo u(r)=\dfrac{Q^{2}}{32\pi^{2}\varepsilon_{0}r^{4}} e multiplicando por 4\pi r^{2},
U=\int_{R_{1}}^{R_{2}}\frac{Q^{2}}{32\pi^{2}\varepsilon_{0}r^{4}}\cdot 4\pi r^{2}\,dr =\frac{Q^{2}}{8\pi\varepsilon_{0}}\int_{R_{1}}^{R_{2}}\frac{1}{r^{2}}\,dr.
Integramos \int \dfrac{1}{r^{2}}dr=-\dfrac{1}{r}. Assim
U=\frac{Q^{2}}{8\pi\varepsilon_{0}}\left(\frac{1}{R_{1}}-\frac{1}{R_{2}}\right).
Se quisermos, podemos reescrever usando C: como 1/(2C)=\dfrac{R_{2}-R_{1}}{8\pi\varepsilon_{0}R_{1}R_{2}}, obtém-se U=\dfrac{Q^{2}}{2C}, consistindo com a fórmula usual. Ambas coincidem com a expressão acima.

Passo 8

Parte (d): queremos a posição radial r (ou a distância a partir de R_{1}) tal que a energia contida entre R_{1} e esse r seja metade da energia total. Definimos a energia acumulada até um raio r com R_{1}<r<R_{2}:
U(r)=\int_{R_{1}}^{r} u(r')\,4\pi r'^{2}\,dr' =\frac{Q^{2}}{8\pi\varepsilon_{0}}\int_{R_{1}}^{r}\frac{1}{r'^{2}}\,dr' =\frac{Q^{2}}{8\pi\varepsilon_{0}}\left(\frac{1}{R_{1}}-\frac{1}{r}\right).
Queremos U(r)=\tfrac{1}{2}U_{\text{total}}. Como U_{\text{total}}=\dfrac{Q^{2}}{8\pi\varepsilon_{0}}\left(\dfrac{1}{R_{1}}-\dfrac{1}{R_{2}}\right), a condição é
\frac{1}{R_{1}}-\frac{1}{r}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{R_{1}}-\frac{1}{R_{2}}\right).
Agora resolvemos essa equação para r.

Passo 9

Resolvendo a equação do passo anterior:
\frac{1}{R_{1}}-\frac{1}{r}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{R_{1}}-\frac{1}{R_{2}}\right)
multiplicando por 2:
\frac{2}{R_{1}}-\frac{2}{r}=\frac{1}{R_{1}}-\frac{1}{R_{2}}.
Isolando \dfrac{1}{r}:
\frac{2}{r}=\frac{1}{R_{1}}+\frac{1}{R_{2}} \quad\Longrightarrow\quad \frac{1}{r}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{R_{1}}+\frac{1}{R_{2}}\right).
Invertendo:
r=\frac{2}{\dfrac{1}{R_{1}}+\dfrac{1}{R_{2}}} =\frac{2R_{1}R_{2}}{R_{1}+R_{2}}.
A distância medida a partir de R_{1} é
d=r-R_{1}=\frac{2R_{1}R_{2}}{R_{1}+R_{2}}-R_{1} =\frac{R_{1}(R_{2}-R_{1})}{R_{1}+R_{2}}.

Resposta

(a)(i) E(r)=0,\quad u(r)=0 para r<R_{1}.\n(a)(ii) E(r)=\dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_{0}r^{2}} (radial para fora), \;u(r)=\dfrac{Q^{2}}{32\pi^{2}\varepsilon_{0}r^{4}} para R_{1}<r<R_{2}.\n(a)(iii) E(r)=0,\quad u(r)=0 para r>R_{2}.\n(b) C=4\pi\varepsilon_{0}\dfrac{R_{1}R_{2}}{R_{2}-R_{1}}.\n(c) U=\dfrac{Q^{2}}{8\pi\varepsilon_{0}}\left(\dfrac{1}{R_{1}}-\dfrac{1}{R_{2}}\right).\n(d) Raio a partir do centro: r=\dfrac{2R_{1}R_{2}}{R_{1}+R_{2}}. Distância a partir de R_{1}: d=r-R_{1}=\dfrac{R_{1}(R_{2}-R_{1})}{R_{1}+R_{2}}.

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