Questão 3- Calcule o volume de um cubo inscrito em uma esfera cujo raio mede r.

Passo 1

O enunciado pede o volume de um cubo inscrito em uma esfera de raio r. Para isso, vamos usar geometria espacial e relacionar o lado do cubo com o raio da esfera circunscrita.

Passo 2

Seja a o lado do cubo. A diagonal espacial do cubo, que liga dois vértices opostos, vale
d = \sqrt{a^2 + a^2 + a^2} = a\sqrt{3}.
Como a esfera circunscrita passa pelos vértices, o seu raio é metade dessa diagonal:
r = \frac{d}{2} = \frac{a\sqrt{3}}{2}.
Isolando a, obtemos
a = \frac{2r}{\sqrt{3}}.

Passo 3

O volume do cubo é
V = a^3.
Substituindo a = \tfrac{2r}{\sqrt{3}}, segue
V = \Bigl(\tfrac{2r}{\sqrt{3}}\Bigr)^3 = \frac{8r^3}{3\sqrt{3}}.
Racionalizando o denominador (multiplicando numerador e denominador por \sqrt{3}), fica
V = \frac{8\sqrt{3}\,r^3}{9}.

Resposta

V = \frac{8\sqrt{3}\,r^3}{9}.

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