Questão 2- Determine a razão entre o volume da esfera inscrita e da esfera circunscrita a um cubo de aresta a.

Passo 1

O enunciado pede a razão entre o volume da esfera inscrita e da esfera circunscrita a um cubo de aresta a. Vamos usar geometria espacial e a fórmula de volume de esfera
V = \frac{4}{3}\pi r^3.

Passo 2

A esfera inscrita toca cada face do cubo, logo seu diâmetro vale a e
r_i = \frac{a}{2}.
Aplicando a fórmula de volume,
V_i = \frac{4}{3}\pi r_i^3 = \frac{4}{3}\pi \Bigl(\frac{a}{2}\Bigr)^3 = \frac{\pi a^3}{6}.

Passo 3

A esfera circunscrita passa pelos vértices do cubo, cujo diâmetro é a diagonal espacial
d = a\sqrt{3},
então
r_e = \frac{d}{2} = \frac{a\sqrt{3}}{2},
e seu volume é
V_e = \frac{4}{3}\pi r_e^3 = \frac{4}{3}\pi \Bigl(\frac{a\sqrt{3}}{2}\Bigr)^3 = \frac{\pi a^3\sqrt{3}}{2}.

Passo 4

Para obter a razão, dividimos V_i por V_e:
\frac{V_i}{V_e} = \frac{\displaystyle \frac{\pi a^3}{6}}{\displaystyle \frac{\pi a^3\sqrt{3}}{2}} = \frac{\pi a^3}{6}\;\cdot\;\frac{2}{\pi a^3\sqrt{3}} = \frac{2}{6\sqrt{3}} = \frac{1}{3\sqrt{3}}.

Resposta

\frac{V_{\text{inscrita}}}{V_{\text{circunscrita}}} = \frac{1}{3\sqrt{3}}.

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