Questão 5- Dada uma esfera de
de diâmetro, 'considere o octaedro regular nela inscrito, bem como o plano paralelo a duas faces opostas do octaedro, tal que suas distâncias a essas duas faces sejam diretamente proporcionais aos números 1 e 2 . Calcule a área da seção que o plano considerado produz no octaedro regular.
Passo 1
O enunciado dá uma esfera de diâmetro
, na qual está inscrito um octaedro regular. Pede-se a área da seção que um plano, paralelo a duas faces opostas do octaedro e cuja distância a essas faces é proporcional a
e
, faz no sólido. Para resolver, vamos (i) determinar o comprimento da aresta do octaedro, (ii) achar a equação desses planos e do plano secante, (iii) caracterizar a seção como hexágono regular e (iv) calcular sua área.
Passo 2
Seja
a aresta do octaedro regular inscrito na esfera. Num octaedro regular de aresta
, o raio da circunferência dos vértices (distância do centro ao vértice) é
Aqui a esfera tem raio
logo
Passo 3
Podemos coordenar o octaedro de modo que seus vértices sejam
com
Duas faces opostas estão nos planos
Procuramos o plano paralelo a elas,
cuja distância a
e a
seja na razão
.
Passo 4
A distância de
a
é
e a distância a
é
Queremos
Passo 5
Para
, o plano
intercepta o octaedro numa seção hexagonal regular, pois o octaedro tem simetria
-fold em torno do eixo
. Basta determinar o lado
desse hexágono.
Passo 6
Por exemplo, o plano cruza a aresta que une
(com soma de coordenadas
) e
(soma
) no parâmetro
tal que
O ponto de interseção é
Um vértice adjacente do hexágono vem da aresta
–
e é
.
A distância entre eles é
A distância entre eles é
Como
, segue
.
Passo 7
A área de um hexágono regular de lado
é
Substituindo
dá
Resposta
A área da seção é
.