Questão 5- Dada uma esfera de 6 \sqrt{2} m de diâmetro, 'considere o octaedro regular nela inscrito, bem como o plano paralelo a duas faces opostas do octaedro, tal que suas distâncias a essas duas faces sejam diretamente proporcionais aos números 1 e 2 . Calcule a área da seção que o plano considerado produz no octaedro regular.

Passo 1

O enunciado dá uma esfera de diâmetro \,6\sqrt{2}\,\text{m}, na qual está inscrito um octaedro regular. Pede-se a área da seção que um plano, paralelo a duas faces opostas do octaedro e cuja distância a essas faces é proporcional a 1 e 2, faz no sólido. Para resolver, vamos (i) determinar o comprimento da aresta do octaedro, (ii) achar a equação desses planos e do plano secante, (iii) caracterizar a seção como hexágono regular e (iv) calcular sua área.

Passo 2

Seja a a aresta do octaedro regular inscrito na esfera. Num octaedro regular de aresta a, o raio da circunferência dos vértices (distância do centro ao vértice) é
R_{\rm oct}=\frac{a}{\sqrt{2}}.
Aqui a esfera tem raio
R=\frac{6\sqrt{2}}{2}=3\sqrt{2},
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\frac{a}{\sqrt{2}}=3\sqrt{2} \quad\Longrightarrow\quad a=6.

Passo 3

Podemos coordenar o octaedro de modo que seus vértices sejam
(\pm b,0,0),\,(0,\pm b,0),\,(0,0,\pm b),
com
b=\frac{a}{\sqrt{2}}=\frac{6}{\sqrt{2}}=3\sqrt{2}.
Duas faces opostas estão nos planos
x+y+z=b \quad\text{e}\quad x+y+z=-b.
Procuramos o plano paralelo a elas,
x+y+z=t,
cuja distância a x+y+z=b e a x+y+z=-b seja na razão 1:2.

Passo 4

A distância de x+y+z=t a x+y+z=b é
D_1=\frac{|b-t|}{\sqrt{1^2+1^2+1^2}} =\frac{b-t}{\sqrt{3}},
e a distância a x+y+z=-b é
D_2=\frac{|t+b|}{\sqrt{3}} =\frac{t+b}{\sqrt{3}}.
Queremos
\frac{D_1}{D_2}=\frac{1}{2} \quad\Longrightarrow\quad \frac{b-t}{t+b}=\frac12 \quad\Longrightarrow\quad t=\frac{b}{3}.

Passo 5

Para |t|<b, o plano x+y+z=t intercepta o octaedro numa seção hexagonal regular, pois o octaedro tem simetria 3-fold em torno do eixo (1,1,1). Basta determinar o lado s desse hexágono.

Passo 6

Por exemplo, o plano cruza a aresta que une
(b,0,0) (com soma de coordenadas b) e (0,-b,0) (soma -b) no parâmetro u tal que
(1-u)b+u(-b)=t=\frac{b}{3} \quad\Longrightarrow\quad u=\tfrac13.
O ponto de interseção é
\bigl(\tfrac23b,\,-\tfrac13b,\,0\bigr).
Um vértice adjacente do hexágono vem da aresta (b,0,0) (0,0,-b) e é
\bigl(\tfrac23b,0,-\tfrac13b\bigr).
A distância entre eles é
s =\sqrt{\Bigl(\tfrac23b-\tfrac23b\Bigr)^2+\Bigl(-\tfrac13b-0\Bigr)^2+\Bigl(0+\tfrac13b\Bigr)^2} =\frac{b}{3}\sqrt{2}.
Como b=3\sqrt{2}, segue s=2.

Passo 7

A área de um hexágono regular de lado s é
A=\frac{3\sqrt{3}}{2}\,s^2.
Substituindo s=2
A=\frac{3\sqrt{3}}{2}\cdot 4 =6\sqrt{3}.

Resposta

A área da seção é 6\sqrt{3}\,\mathrm{m}^2.

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