Questão 4- Duas esferas são circunscrita e inscrita em um mesmo octaedro. Calcule a razão entre seus volumes.
Passo 1
O enunciado pede a razão entre os volumes das esferas circunscrita e inscrita em um mesmo octaedro regular. O conteúdo é geometria no espaço: vamos precisar das fórmulas dos raios da esfera inscrita (
) e da esfera circunscrita (
) de um octaedro de aresta
, e então usar a expressão do volume de uma esfera,
Passo 2
Para determinar o raio
da esfera que passa por todos os vértices, posicionamos o octaedro centrado na origem com vértices em
,
,
. A aresta
é a distância entre
e
, logo
Como esses vértices estão sobre a esfera circunscrita,
Passo 3
Para achar o raio
da esfera inscrita, calculamos a distância do centro (origem) a uma face, por exemplo o triângulo com vértices
,
e
. O plano que passa por esses pontos é
A distância do ponto
a esse plano vale
Passo 4
Usando as fórmulas dos volumes das esferas:
a razão entre eles é
Resposta
A razão entre os volumes é
.