Questão 4- Duas esferas são circunscrita e inscrita em um mesmo octaedro. Calcule a razão entre seus volumes.

Passo 1

O enunciado pede a razão entre os volumes das esferas circunscrita e inscrita em um mesmo octaedro regular. O conteúdo é geometria no espaço: vamos precisar das fórmulas dos raios da esfera inscrita ( r) e da esfera circunscrita ( R) de um octaedro de aresta a, e então usar a expressão do volume de uma esfera,
V=\frac{4}{3}\pi r^3.

Passo 2

Para determinar o raio R da esfera que passa por todos os vértices, posicionamos o octaedro centrado na origem com vértices em (\pm c,0,0), (0,\pm c,0), (0,0,\pm c). A aresta a é a distância entre (c,0,0) e (0,c,0), logo
\sqrt{c^2+c^2}=a
\Rightarrow c=\frac{a}{\sqrt{2}}.
Como esses vértices estão sobre a esfera circunscrita,
R=c=\frac{a}{\sqrt{2}}.

Passo 3

Para achar o raio r da esfera inscrita, calculamos a distância do centro (origem) a uma face, por exemplo o triângulo com vértices (c,0,0), (0,c,0) e (0,0,c). O plano que passa por esses pontos é
x+y+z=c.
A distância do ponto (0,0,0) a esse plano vale
r=\frac{|0+0+0-c|}{\sqrt{1^2+1^2+1^2}} =\frac{c}{\sqrt{3}} =\frac{\tfrac{a}{\sqrt{2}}}{\sqrt{3}} =\frac{a}{\sqrt{6}}.

Passo 4

Usando as fórmulas dos volumes das esferas:
V_{\mathrm{circ}}=\frac{4}{3}\pi R^3, \quad V_{\mathrm{ins}}=\frac{4}{3}\pi r^3,
a razão entre eles é
\frac{V_{\mathrm{circ}}}{V_{\mathrm{ins}}} =\frac{R^3}{r^3} =\frac{\bigl(\tfrac{a}{\sqrt{2}}\bigr)^3}{\bigl(\tfrac{a}{\sqrt{6}}\bigr)^3} =\frac{a^3/2^{3/2}}{a^3/6^{3/2}} =\frac{6^{3/2}}{2^{3/2}} =\Bigl(\frac{6}{2}\Bigr)^{3/2} =3^{3/2} =3\sqrt{3}.

Resposta

A razão entre os volumes é 3\sqrt{3}.

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