Questão 3) Calcule o volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo O x, do conjunto \left\{(x, y): \frac{1}{x} \leq y \leq 1,1 \leq x \leq 2\right\}.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo Ox, da região \{(x,y)\mid \tfrac1x \le y \le 1,\;1,1\le x\le 2\}.
O conteúdo é cálculo de volume por revolução usando o método dos discos/aros (washers).

Passo 2

Ao girar em torno de Ox, cada seção perpendicular ao eixo x é um disco com furo.
O raio externo é
R(x)=1
pois a curva superior é y=1, e o raio interno é
r(x)=\frac1x
pois a curva inferior é y=\tfrac1x.

Passo 3

A fórmula pelo método dos aros é
V = \pi \int_{1,1}^{2}\bigl[R(x)^2 - r(x)^2\bigr]\,dx = \pi \int_{1,1}^{2}\Bigl(1^2 - \frac{1}{x^2}\Bigr)\,dx = \pi \int_{1,1}^{2}\Bigl(1 - x^{-2}\Bigr)\,dx.

Passo 4

Calcule a integral indefinida:
\int\bigl(1 - x^{-2}\bigr)\,dx = \int1\,dx - \int x^{-2}\,dx = x - \bigl(-x^{-1}\bigr) = x + \frac1x + C.

Passo 5

Avalie de x=1,1 até x=2:
V = \pi\Bigl[\bigl(2 + \tfrac12\bigr) - \bigl(1,1 + \tfrac{1}{1,1}\bigr)\Bigr] = \pi\Bigl[2{,}5 - \bigl(1{,}1 + \tfrac{10}{11}\bigr)\Bigr] = \pi\Bigl[2{,}5 - 2{,}0090909\ldots\Bigr] = \pi\cdot\frac{27}{55}.

Resposta

V = \frac{27}{55}\,\pi.

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