Questão 6) Calcule as seguintes integrais.
\int \frac{1}{x(x-1)(x-2)} d x;

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida da função racional
\int \frac{1}{x(x-1)(x-2)}\,dx.
O conteúdo necessário é a técnica de decomposição em frações parciais, seguida de integração termo a termo.

Passo 2

Vamos escrever
\frac{1}{x(x-1)(x-2)} =\frac{A}{x}+\frac{B}{x-1}+\frac{C}{x-2}.
Multiplicando ambos os lados por x(x-1)(x-2), obtemos
1 = A\,(x-1)(x-2)+B\,x(x-2)+C\,x(x-1).

Passo 3

Para achar A, B e C usamos valores especiais de x:
  • Em x=0: 1 = A\cdot(-1)\cdot(-2), logo A=\tfrac12.
  • Em x=1: 1 = B\cdot1\cdot(-1), logo B=-1.
  • Em x=2: 1 = C\cdot2\cdot1, logo C=\tfrac12.

Passo 4

Substituindo em termos parciais, a integral vira
\int\Bigl(\tfrac12\frac1x\;-\;\frac1{x-1}\;+\;\tfrac12\frac1{x-2}\Bigr)\,dx =\tfrac12\int\frac{dx}{x}-\int\frac{dx}{x-1}+\tfrac12\int\frac{dx}{x-2}.
Integramos cada termo:
\tfrac12\ln|x|\;-\;\ln|x-1|\;+\;\tfrac12\ln|x-2| + C.

Passo 5

Podemos agrupar os logaritmos se quiser uma forma compacta:
\frac12\ln\bigl|x(x-2)\bigr|-\ln|x-1|+C.

Resposta

\int \frac{1}{x(x-1)(x-2)}\,dx =\tfrac12\ln|x|-\ln|x-1|+\tfrac12\ln|x-2|+C.

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