Seja
.
O comprimento do gráfico no intervalo
.
O comprimento do gráfico no intervalo
Passo 1
O enunciado pede o comprimento do arco do gráfico de
no intervalo
. O conteúdo principal é a fórmula do comprimento de arco de uma função
no intervalo
, que é
Para resolver, vamos precisar calcular
, montar a integral e, em seguida, executá-la por meio de substituição hiperbólica.
Passo 2
Calculando a derivada de
, temos
Logo, a fórmula do comprimento fica
Passo 3
Dentro da raiz podemos colocar sobre um mesmo denominador:
então
Portanto
Passo 4
Para calcular
usamos a substituição hiperbólica
usamos a substituição hiperbólica
Então o integrando vira
Passo 5
Agora integramos termo a termo:
Logo uma antiderivada é
Passo 6
Voltando a
: temos
Portanto a antiderivada em termos de
pode ser escrita como
Precisamos de
.
Passo 7
Calculemos separadamente:
Em
:
Em
:
Subtraindo,
Reagrupando o logaritmo: