Seja f(x)=\ln x.
O comprimento do gráfico no intervalo \left[1, e^{2}\right].

Passo 1

O enunciado pede o comprimento do arco do gráfico de f(x)=\ln x no intervalo [1,e^{2}]. O conteúdo principal é a fórmula do comprimento de arco de uma função y=f(x) no intervalo [a,b], que é
L = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + \bigl(f'(x)\bigr)^{2}}\;dx.
Para resolver, vamos precisar calcular f'(x), montar a integral e, em seguida, executá-la por meio de substituição hiperbólica.

Passo 2

Calculando a derivada de f, temos
f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(\ln x\bigr)=\frac{1}{x}.
Logo, a fórmula do comprimento fica
L = \int_{1}^{e^{2}} \sqrt{1 + \bigl(\tfrac{1}{x}\bigr)^{2}}\;dx.

Passo 3

Dentro da raiz podemos colocar sobre um mesmo denominador:
1 + \frac{1}{x^{2}} = \frac{x^{2}+1}{x^{2}},
então
\sqrt{1 + \frac{1}{x^{2}}} = \sqrt{\frac{x^{2}+1}{x^{2}}} = \frac{\sqrt{x^{2}+1}}{x}.
Portanto
L = \int_{1}^{e^{2}} \frac{\sqrt{x^{2}+1}}{x}\;dx.

Passo 4

Para calcular \displaystyle \int \frac{\sqrt{x^{2}+1}}{x}\,dx
usamos a substituição hiperbólica
x = \operatorname{sinh} u, \quad dx = \operatorname{cosh} u\,du, \quad \sqrt{x^{2}+1} = \operatorname{cosh} u.
Então o integrando vira
\frac{\sqrt{x^{2}+1}}{x}\,dx = \frac{\operatorname{cosh} u}{\operatorname{sinh} u}\,\bigl(\operatorname{cosh} u\,du\bigr) = \frac{\operatorname{cosh}^{2}u}{\operatorname{sinh} u}\;du = \frac{1 + \operatorname{sinh}^{2}u}{\operatorname{sinh} u}\;du = \bigl(\csch u + \operatorname{sinh} u\bigr)\,du.

Passo 5

Agora integramos termo a termo:
\int \csch u\,du = \ln\!\bigl(\operatorname{tanh}\tfrac{u}{2}\bigr) \quad\text{e}\quad \int \operatorname{sinh} u\,du = \operatorname{cosh} u.
Logo uma antiderivada é
\ln\!\bigl(\operatorname{tanh}\tfrac{u}{2}\bigr) + \operatorname{cosh} u + C.

Passo 6

Voltando a x: temos
u = \arsinh(x), \quad \operatorname{cosh} u = \sqrt{x^{2}+1}, \quad \operatorname{tanh}\tfrac{u}{2} = \frac{x}{1+\sqrt{x^{2}+1}}.
Portanto a antiderivada em termos de x pode ser escrita como
F(x) = \sqrt{x^{2}+1} + \ln\!\Bigl(\frac{x}{1 + \sqrt{x^{2}+1}}\Bigr).
Precisamos de F(e^{2}) - F(1).

Passo 7

Calculemos separadamente:
Em x=e^{2}:
F(e^{2}) = \sqrt{1 + e^{4}} + \ln\!\Bigl(\frac{e^{2}}{1 + \sqrt{1+e^{4}}}\Bigr).
Em x=1:
F(1) = \sqrt{2} + \ln\!\Bigl(\frac{1}{1 + \sqrt{2}}\Bigr) = \sqrt{2} - \ln\!\bigl(1 + \sqrt{2}\bigr).
Subtraindo,
L = F(e^{2}) - F(1) = \bigl(\sqrt{1+e^{4}} - \sqrt{2}\bigr) + \ln\!\Bigl(\frac{e^{2}}{1 + \sqrt{1+e^{4}}}\Bigr) + \ln\!\bigl(1 + \sqrt{2}\bigr).
Reagrupando o logaritmo:
\ln\!\Bigl(\frac{e^{2}}{1 + \sqrt{1+e^{4}}}\Bigr) + \ln\!\bigl(1 + \sqrt{2}\bigr) = \ln\!\Bigl(\frac{e^{2}\,(1+\sqrt{2})}{\,1 + \sqrt{1+e^{4}}\,}\Bigr).

Resposta

L = \sqrt{1+e^{4}} \;-\;\sqrt{2} \;+\;\ln\!\Bigl(\frac{e^{2}\,\bigl(1+\sqrt{2}\bigr)}{1+\sqrt{1+e^{4}}}\Bigr).

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