Questão 4) Determine a área da superficie de revolução obtida pela rotação, em torno do eixo O y, do seguinte conjunto \left\{(x, y): y=\frac{x^{2}}{2}, 0 \leq x \leq 1\right\}.

Passo 1

O enunciado nos dá a curva
y = \frac{x^2}{2},\quad 0 \le x \le 1
e pede a área da superfície obtida ao girá-la em torno do eixo Oy. Para isso usamos a fórmula de área de superfície de revolução em torno do eixo y:
S = 2\pi \int_{a}^{b} x\,\mathrm{d}s,
onde \mathrm{d}s = \sqrt{1 + \bigl(y'(x)\bigr)^2}\,\mathrm{d}x.

Passo 2

Calculamos a derivada de y:
y'(x) = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\Bigl(\tfrac{x^2}{2}\Bigr) = x.
Logo
\mathrm{d}s = \sqrt{1 + \bigl(y'(x)\bigr)^2}\,\mathrm{d}x = \sqrt{1 + x^2}\,\mathrm{d}x.

Passo 3

Substituindo em S, obtemos
S = 2\pi \int_{0}^{1} x \,\sqrt{1 + x^2}\,\mathrm{d}x.

Passo 4

Para calcular
\int_{0}^{1} x\,\sqrt{1 + x^2}\,\mathrm{d}x
fazemos a substituição u = 1 + x^2, \mathrm{d}u = 2x\,\mathrm{d}x, de modo que x\,\mathrm{d}x = \mathrm{d}u/2. Assim,
\int_{0}^{1} x\,\sqrt{1 + x^2}\,\mathrm{d}x = \frac12 \int_{u(0)}^{u(1)} u^{1/2}\,\mathrm{d}u = \frac12 \cdot \frac{2}{3}\,u^{3/2}\Big|_{1}^{2} = \frac{1}{3}\Bigl[(2)^{3/2} - 1^{3/2}\Bigr] = \frac{1}{3}\bigl(2\sqrt{2} - 1\bigr).

Resposta

S = 2\pi \times \frac{1}{3}\bigl(2\sqrt{2} - 1\bigr) = \frac{2\pi}{3}\,\bigl(2\sqrt{2} - 1\bigr).

Exercícios relacionados