QUESTÃO 2: (Cálculo Diferencial e Integral)
A amplitude da vibração de um sistema massa-mola-amortecedor sujeito a uma excitação harmônica F \operatorname{sen}(\Omega \mathfrak{t}) é dada por:
A=\frac{F / k}{\sqrt{\left(1-r^{2}\right)^{2}+(2 \zeta r)^{2}}}
Determine o valor de r em que a amplitude A é máxima.

Passo 1

O enunciado dá a amplitude da vibração
A=\frac{F/k}{\sqrt{\left(1-r^{2}\right)^{2}+(2 \zeta r)^{2}}}
e pede: determinar o valor de r em que a amplitude A é máxima.
Informações relevantes fornecidas:
\;F/k é uma constante positiva (razão da força pela rigidez), \zeta é o coeficiente de amortecimento (assumimos \zeta\ge 0) e r é a variável a ser escolhida (razão de frequências, fisicamente \;r\ge 0).
O objetivo é encontrar o(s) valor(es) de r que tornam A máximo(s).

Passo 2

Estratégia matemática simples e por que funciona: como F/k>0, maximizar A é equivalente a maximizar A^{2} (isso evita a raiz) e, como A^{2}=(F/k)^{2}/D(r) onde D(r) é o denominador ao quadrado, maximizar A^{2} é equivalente a minimizar D(r). Portanto vamos definir a função a minimizar e trabalhar com derivadas para achar extremos.

Passo 3

Definimos
D(r)=\left(1-r^{2}\right)^{2}+(2\zeta r)^{2}.
Observação: D(r)>0 para todo r. Como
A^{2}=\frac{(F/k)^{2}}{D(r)},
um mínimo de D(r) corresponde a um máximo de A^{2} (e portanto de A).

Passo 4

Vamos calcular a derivada de D(r) e achar pontos estacionários. Primeiro expandimos se necessário, mas é mais direto derivar em forma compacta. Derivando:
\frac{dD}{dr}=2(1-r^{2})(-2r)+2(2\zeta r)(2\zeta).
Agora simplificamos os termos:
\frac{dD}{dr}=-4r(1-r^{2})+8\zeta^{2}r.
Fatorando 4r:
\frac{dD}{dr}=4r\bigl(r^{2}+2\zeta^{2}-1\bigr).

Passo 5

Zeramos a derivada para obter candidatos a extremos:
\frac{dD}{dr}=0 \quad\Longrightarrow\quad 4r\bigl(r^{2}+2\zeta^{2}-1\bigr)=0.
As soluções são
r=0 \qquad\text{ou}\qquad r^{2}=1-2\zeta^{2}.
A segunda solução dá raízes reais somente se 1-2\zeta^{2}\ge 0, i.e. \zeta^{2}\le \tfrac{1}{2} ou \zeta\le 1/\sqrt{2}. Como fisicamente consideramos r\ge 0, a solução relevante é
r=\sqrt{\,1-2\zeta^{2}\,}
quando essa raiz existe.

Passo 6

Precisamos classificar esses pontos (mínimos de D correspondem a máximos de A). Calculamos a segunda derivada de D:
\frac{d^{2}D}{dr^{2}}=4\bigl(3r^{2}+2\zeta^{2}-1\bigr).
Avaliamos a segunda derivada no candidato r^{2}=1-2\zeta^{2}. Substituindo:
\frac{d^{2}D}{dr^{2}}\Big|_{r^{2}=1-2\zeta^{2}}=4\bigl(3(1-2\zeta^{2})+2\zeta^{2}-1\bigr) =8(1-2\zeta^{2}).
Se \zeta<1/\sqrt{2} então 1-2\zeta^{2}>0 e a segunda derivada é positiva, logo esse ponto é mínimo de D (portanto máximo de A). Se \zeta=1/\sqrt{2} a segunda derivada é zero (caso limite). Se \zeta>1/\sqrt{2} a expressão 1-2\zeta^{2} é negativa, então não existe raiz real para r^{2}=1-2\zeta^{2} e o único ponto crítico real é r=0.

Passo 7

Analisando r=0: avaliando a segunda derivada em r=0,
\frac{d^{2}D}{dr^{2}}\Big|_{r=0}=4(2\zeta^{2}-1).
Se \zeta>1/\sqrt{2} então 2\zeta^{2}-1>0 e a segunda derivada em r=0 é positiva, logo r=0 é mínimo de D (portanto máximo de A) nesse caso. Se \zeta<1/\sqrt{2} então r=0 não é o mínimo de D (é um máximo ou ponto de sela para D), porque existe o mínimo interno r=\sqrt{1-2\zeta^{2}}. No caso limite \zeta=1/\sqrt{2} o máximo ocorre em r=0 mas a resposta é degenerada (pico muito achatado).

Resposta

Se \zeta<\dfrac{1}{\sqrt{2}}: \;r=\sqrt{\,1-2\zeta^{2}\,}
Se \zeta\ge\dfrac{1}{\sqrt{2}}: \;r=0

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