QUESTÃO 2: (Cálculo Diferencial e Integral)
Encontre o volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo y , da região delimitada por \mathrm{y}=\mathrm{x}^{3}, \mathrm{y}=8 e \mathrm{x}=0, e represente a figura em um gráfico XYZ .
Justifique sua resposta na área quadriculada.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (1) encontrar o volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo y, da região delimitada por \mathrm{y}=\mathrm{x}^{3}, \mathrm{y}=8 e \mathrm{x}=0; (2) representar essa figura em um gráfico XYZ. Informações dadas e pontos relevantes: a curva é \mathrm{y}=\mathrm{x}^{3}; a reta horizontal superior é \mathrm{y}=8; a reta vertical é \mathrm{x}=0 (o eixo y). A interseção entre \mathrm{y}=\mathrm{x}^{3} e \mathrm{y}=8 ocorre quando \mathrm{x}^{3}=8, portanto \mathrm{x}=2. Logo, no plano xy a região está entre x=0 e x=2, e em cada x o y varia de y=\mathrm{x}^{3} até y=8. A rotação é em torno do eixo y.

Passo 2

Visualização da região antes de rotacionar (explicando devagar): imagine o primeiro quadrante. A curva y=x^{3} parte da origem (0,0) e sobe inclinada; a reta y=8 é uma linha horizontal acima; a reta x=0 é o próprio eixo y. A região que vamos girar é o “pedaço” entre o eixo y (à esquerda) e a curva x=y^{1/3} (à direita), do y=0 até y=8. Ao girar essa região em torno do eixo y obtemos um sólido simétrico em torno do eixo y, com “boca” em y=8 e ponta na origem.

Passo 3

Escolha do método e por que: para rotação em torno do eixo y há dois métodos comuns: (A) cilindros (método das cascas cilíndricas, integrando em x); (B) discos/anéis (método dos discos, integrando em y). Vou usar o método das cascas cilíndricas porque a função está dada como y=f(x) e a integral em x fica direta e simples. Em seguida eu verifico com o método dos discos para você ver que dá igual (boa prática — conferir resultados).
Antes de calcular, explico a fórmula das cascas cilíndricas:
Ao girar uma tira vertical, de espessura \mathrm{d}x, situada em x, ela gera uma casca cilíndrica de raio \mathrm{r}=x, altura \mathrm{h}(x)= altura da região naquele x (diferença entre topo e fundo), e espessura \mathrm{d}x. O volume de uma casca fina é aproximadamente a área lateral do cilindro fino: 2\pi \cdot \mathrm{r} \cdot \mathrm{h}(x)\cdot \mathrm{d}x. Assim a fórmula do volume é
V = \int_{x_{\min}}^{x_{\max}} 2\pi x\,\mathrm{h}(x)\,\mathrm{d}x.
Aqui \mathrm{h}(x) é o comprimento vertical da região em cada x.

Passo 4

Aplicando a fórmula ao nosso problema: para cada x\in[0,2] a altura é \mathrm{h}(x)=8 - x^{3}. O raio é x. Os limites em x vão de 0 a 2. Logo
V = \int_{0}^{2} 2\pi x\bigl(8 - x^{3}\bigr)\,\mathrm{d}x.
Agora desenvolvo a integral passo a passo:
V = 2\pi \int_{0}^{2} \bigl(8x - x^{4}\bigr)\,\mathrm{d}x.
Integro termo a termo:
\int 8x\,\mathrm{d}x = 8\cdot\frac{x^{2}}{2}=4x^{2}, \qquad \int x^{4}\,\mathrm{d}x=\frac{x^{5}}{5}.
Portanto
V = 2\pi\left[4x^{2}-\frac{x^{5}}{5}\right]_{0}^{2}.

Passo 5

Avalio a expressão nos limites:
Calculo em x=2:
4x^{2}=4\cdot 2^{2}=4\cdot 4=16, \qquad \frac{x^{5}}{5}=\frac{2^{5}}{5}=\frac{32}{5}.
Logo dentro do colchete ficamos com 16-\dfrac{32}{5}. Colocando sobre o mesmo denominador:
16-\frac{32}{5}=\frac{80}{5}-\frac{32}{5}=\frac{48}{5}.
Multiplicando por 2\pi:
V=2\pi\cdot\frac{48}{5}=\frac{96\pi}{5}.

Passo 6

Verificação rápida pelo método dos discos (cheque didático): neste método cortamos por planos horizontais (fixando y). Cada seção perpendicular ao eixo y é um disco de raio igual ao valor de x na fronteira direita, ou seja R(y)=x_{\max}=y^{1/3}. O volume é
V=\int_{y_{\min}}^{y_{\max}}\pi\bigl(R(y)\bigr)^{2}\,\mathrm{d}y =\pi\int_{0}^{8} \bigl(y^{1/3}\bigr)^{2}\,\mathrm{d}y =\pi\int_{0}^{8} y^{2/3}\,\mathrm{d}y.
Integro:
\int y^{2/3}\,\mathrm{d}y=\frac{y^{5/3}}{5/3}=\frac{3}{5}y^{5/3}.
Logo
V=\pi\cdot\frac{3}{5}\bigl[y^{5/3}\bigr]_{0}^{8} =\frac{3\pi}{5}\cdot 8^{5/3}.
Como 8^{1/3}=2 então 8^{5/3}=2^{5}=32. Assim
V=\frac{3\pi}{5}\cdot 32=\frac{96\pi}{5},
confirmando o resultado anterior.

Passo 7

Como representar a figura no gráfico XYZ (instrução passo a passo para desenhar à mão na área quadriculada):
  1. Desenhe três eixos: y vertical, x horizontal para a direita, e z saindo perpendicular ao plano (pode desenhar o eixo z apontando para cima à direita em perspectiva). Marque a origem O onde os três se encontram.
  2. No plano xy desenhe a curva y=x^{3} para x\ge 0 (parte que sai da origem e sobe até x=2,y=8). Desenhe a reta vertical x=0 (eixo y) e a reta horizontal y=8.
  3. A região a ser girada é a área entre o eixo y e a curva, de y=0 a y=8. Sombreie essa região.
  4. Ao rotacionar em torno do eixo y, cada ponto (x, y) gera um círculo no plano xz com raio r=x. O sólido resultante é simétrico em torno do eixo y e pode ser descrito em coordenadas cilíndricas por r\le y^{1/3} com 0\le y\le 8.
  5. Uma equação de superfície útil para desenhar (em coordenadas cartesianas x,z,y) é
y=\bigl(\sqrt{x^{2}+z^{2}}\;\bigr)^{3}=(x^{2}+z^{2})^{3/2},
com 0\le y\le 8. Para esboçar, trace curvas de nível (círculos) em alturas y diferentes: em cada altura y o raio do corte é r=y^{1/3}. Assim em y=0 o raio é 0 (ponta), em y=8 o raio é 2 (boca).
6. Na área quadriculada, marque alguns cortes horizontais (por exemplo y=1,2,4,8), desenhe os círculos correspondentes com raios 1^{1/3}=1, 2^{1/3}\approx1,26 (pode aproximar), 4^{1/3}\approx1,587, 8^{1/3}=2. Ligue suavemente essas curvas para formar a superfície do sólido.

Passo 8

Recapitulando de forma encorajadora: fizemos devagar a escolha do método, montamos a integral com interpretação física (casca cilíndrica), calculamos a integral passo a passo e conferimos com outro método. Resultado limpo e certinho. Vai dar certo na prova — respira e confia na prática.

Resposta

\displaystyle V=\frac{96\pi}{5}.
Superfície/representação no espaço: \displaystyle y=(x^{2}+z^{2})^{3/2} com 0\le y\le 8 (ou equivalentemente x^{2}+z^{2}\le y^{2/3}, 0\le y\le 8).

Exercícios relacionados