QUESTÃO 2: (Cálculo Diferencial e Integral)
Encontre o volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo y , da região delimitada por
e
, e represente a figura em um gráfico XYZ .
Justifique sua resposta na área quadriculada.
Encontre o volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo y , da região delimitada por
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (1) encontrar o volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo
, da região delimitada por
,
e
; (2) representar essa figura em um gráfico
. Informações dadas e pontos relevantes: a curva é
; a reta horizontal superior é
; a reta vertical é
(o eixo
). A interseção entre
e
ocorre quando
, portanto
. Logo, no plano
a região está entre
e
, e em cada
o
varia de
até
. A rotação é em torno do eixo
.
Passo 2
Visualização da região antes de rotacionar (explicando devagar): imagine o primeiro quadrante. A curva
parte da origem
e sobe inclinada; a reta
é uma linha horizontal acima; a reta
é o próprio eixo
. A região que vamos girar é o “pedaço” entre o eixo
(à esquerda) e a curva
(à direita), do
até
. Ao girar essa região em torno do eixo
obtemos um sólido simétrico em torno do eixo
, com “boca” em
e ponta na origem.
Passo 3
Escolha do método e por que: para rotação em torno do eixo
há dois métodos comuns: (A) cilindros (método das cascas cilíndricas, integrando em
); (B) discos/anéis (método dos discos, integrando em
). Vou usar o método das cascas cilíndricas porque a função está dada como
e a integral em
fica direta e simples. Em seguida eu verifico com o método dos discos para você ver que dá igual (boa prática — conferir resultados).
Antes de calcular, explico a fórmula das cascas cilíndricas:
Ao girar uma tira vertical, de espessura , situada em
, ela gera uma casca cilíndrica de raio
, altura
altura da região naquele
(diferença entre topo e fundo), e espessura
. O volume de uma casca fina é aproximadamente a área lateral do cilindro fino:
. Assim a fórmula do volume é
Ao girar uma tira vertical, de espessura
Aqui
é o comprimento vertical da região em cada
.
Passo 4
Aplicando a fórmula ao nosso problema: para cada
a altura é
. O raio é
. Os limites em
vão de
a
. Logo
Agora desenvolvo a integral passo a passo:
Integro termo a termo:
Portanto
Passo 5
Avalio a expressão nos limites:
Calculo em :
Calculo em
Logo dentro do colchete ficamos com
. Colocando sobre o mesmo denominador:
Multiplicando por
:
Passo 6
Verificação rápida pelo método dos discos (cheque didático): neste método cortamos por planos horizontais (fixando
). Cada seção perpendicular ao eixo
é um disco de raio igual ao valor de
na fronteira direita, ou seja
. O volume é
Integro:
Logo
Como
então
. Assim
confirmando o resultado anterior.
Passo 7
Como representar a figura no gráfico
(instrução passo a passo para desenhar à mão na área quadriculada):
- Desenhe três eixos:
vertical, horizontal para a direita, e saindo perpendicular ao plano (pode desenhar o eixo apontando para cima à direita em perspectiva). Marque a origem onde os três se encontram. - No plano
desenhe a curva para (parte que sai da origem e sobe até ). Desenhe a reta vertical (eixo ) e a reta horizontal . - A região a ser girada é a área entre o eixo
e a curva, de a . Sombreie essa região. - Ao rotacionar em torno do eixo
, cada ponto gera um círculo no plano com raio . O sólido resultante é simétrico em torno do eixo e pode ser descrito em coordenadas cilíndricas por com . - Uma equação de superfície útil para desenhar (em coordenadas cartesianas
) é
com
. Para esboçar, trace curvas de nível (círculos) em alturas
diferentes: em cada altura
o raio do corte é
. Assim em
o raio é
(ponta), em
o raio é
(boca).
6. Na área quadriculada, marque alguns cortes horizontais (por exemplo ), desenhe os círculos correspondentes com raios
,
(pode aproximar),
,
. Ligue suavemente essas curvas para formar a superfície do sólido.
6. Na área quadriculada, marque alguns cortes horizontais (por exemplo
Passo 8
Recapitulando de forma encorajadora: fizemos devagar a escolha do método, montamos a integral com interpretação física (casca cilíndrica), calculamos a integral passo a passo e conferimos com outro método. Resultado limpo e certinho. Vai dar certo na prova — respira e confia na prática.
Resposta
Superfície/representação no espaço: