QUESTÃO 2: (Cálculo Diferencial e Integral)
Uma barragem tem o formato de um trapézio na sua seção longitudinal vista da montante. A altura é de 20 m e a largura é de 50 m no topo e 30 m no fundo. Calcule a força na barragem decorrente da pressão hidrostática da água, se o nível de água está a 4 m do topo da barragem.
Considere: pressão hidrostática = densidade da água x gravidade x altura e força = pressão x área, densidade da água =1000 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} e gravidade =9,8 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}.
Justifique sua resposta na área quadriculada.

Passo 1

O enunciado pede que calculemos a força resultante na barragem causada pela pressão hidrostática da água. Informações dadas:
\text{altura total da barragem} = 20\\ \mathrm{m},
\text{largura no topo} = 50\\ \mathrm{m},
\text{largura no fundo} = 30\\ \mathrm{m},
\text{nível da água está a }4\\ \mathrm{m}\text{ do topo},íáá
\rho = 1000\\ \mathrm{kg/m^3},\qquad g = 9{,}8\\ \mathrm{m/s^2}.
Pergunta que precisamos responder: calcular a força (em newtons) na barragem decorrente da pressão hidrostática da água, justificando o procedimento.

Passo 2

Primeiro vamos interpretar a informação “nível da água está a 4\\ \mathrm{m} do topo”. Isso significa que, medindo a partir do topo da barragem para baixo, a superfície livre da água está a 4\\ \mathrm{m}. Como a altura total é 20\\ \mathrm{m}, a profundidade de água em relação ao fundo da barragem é
\text{profundidade da água} = 20 - 4 = 16\\ \mathrm{m}.á
Ou seja, a água ocupa a região vertical desde y=0 (fundo) até y=16 (superfície), se adotarmos y medido para cima a partir do fundo.

Passo 3

A pressão hidrostática a uma profundidade h abaixo da superfície livre é dada por
p = \rho g h,
onde \rho é a densidade do fluido ( \mathrm{kg/m^3}), g é a aceleração da gravidade ( \mathrm{m/s^2}) e h é a distância vertical da superfície livre até o ponto considerado (em metros). Essa fórmula vem do equilíbrio estático do fluido: quanto mais fundo, maior a coluna de água acima e maior a pressão.

Passo 4

A força total horizontal que a água exerce sobre a barragem é a integral da pressão sobre a área da superfície em contato com a água:
F=\int p\,\mathrm{d}A.
Vamos modelar a seção longitudinal da barragem como um trapézio vertical: em cada altura y (medida a partir do fundo) a espessura horizontal da barragem é w(y). Tomamos uma tira horizontal de altura \mathrm{d}y; a área dessa tira é \mathrm{d}A = w(y)\,\mathrm{d}y. A pressão nessa tira, medida na direção horizontal, é \rho g vezes a profundidade até a tira, que é 16-y (porque a superfície está em y=16). Então a força horizontal sobre a tira é \rho g(16-y)w(y)\,\mathrm{d}y. Integramos isso de y=0 até y=16.

Passo 5

Precisamos da expressão de w(y), a largura horizontal da seção da barragem a uma altura y (entre 0 e 20). Como a largura varia linearmente do fundo ( y=0, w=30) até o topo ( y=20, w=50), a função linear é
w(y)=30+\frac{50-30}{20}y=30+ y.
Então w(y)=30+y para 0\le y\le 20. (Verificação rápida: em y=0 30; em y=20 50.)

Passo 6

A pressão em função de y (com y medido do fundo) é
p(y)=\rho g(16-y),
porque a profundidade abaixo da superfície livre é 16-y quando 0\le y\le16.

Passo 7

Montamos a integral da força total sobre a porção submersa (de y=0 até y=16):
F=\int_{0}^{16} p(y)\,w(y)\,\mathrm{d}y =\int_{0}^{16} \rho g\,(16-y)(30+y)\,\mathrm{d}y.
Podemos tirar \rho g fora da integral:
F=\rho g\int_{0}^{16} (16-y)(30+y)\,\mathrm{d}y.

Passo 8

Expandimos o integrando e integramos passo a passo. Primeiro
(16-y)(30+y)=480-14y-y^{2}.
Logo
\int_{0}^{16} (16-y)(30+y)\,\mathrm{d}y =\int_{0}^{16} (480-14y-y^{2})\,\mathrm{d}y.
A primitiva é
\int (480-14y-y^{2})\,\mathrm{d}y = 480y-7y^{2}-\tfrac{1}{3}y^{3}.
Avaliaremos de 0 a 16:
\Big[480y-7y^{2}-\tfrac{1}{3}y^{3}\Big]_{0}^{16} =480\cdot16-7\cdot16^{2}-\tfrac{1}{3}\cdot16^{3}.
Calculando os termos:
480\cdot16=7680,\qquad 7\cdot16^{2}=7\cdot256=1792,\qquad \tfrac{1}{3}\cdot16^{3}=\tfrac{4096}{3}.
Portanto
\int_{0}^{16} (16-y)(30+y)\,\mathrm{d}y =7680-1792-\tfrac{4096}{3}=\frac{13568}{3}.

Passo 9

Agora multiplicamos por \rho g. Como \rho=1000\\ \mathrm{kg/m^3} e g=9{,}8\\ \mathrm{m/s^2}, temos \rho g=1000\cdot9{,}8=9800. Assim
F=9800\cdot\frac{13568}{3}=\frac{9800\cdot13568}{3}.
Calculando numericamente,
F=\frac{132\,966\,400}{3}=44\,322\,133{,}33\\ \mathrm{N}\\ (\text{aprox.}).
Arredondando com três algarismos significativos:
F\approx 4{,}43\times10^{7}\\ \mathrm{N}.

Passo 10

Interpretação final: essa força é a resultante horizontal da pressão da coluna de água sobre a face da barragem no trecho submerso (dos 0 aos 16\\ \mathrm{m}). Foi obtida integrando a pressão linearmente crescente com a profundidade sobre a largura variável do trapézio.

Resposta

4{,}43\times10^{7}\\ \mathrm{N}

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