QUESTÃO 2: (Cálculo Diferencial e Integral)
Uma barragem tem o formato de um trapézio na sua seção longitudinal vista da montante. A altura é de 20 m e a largura é de 50 m no topo e 30 m no fundo. Calcule a força na barragem decorrente da pressão hidrostática da água, se o nível de água está a 4 m do topo da barragem.
Considere: pressão hidrostática
densidade da água x gravidade x altura e força
pressão x área, densidade da água
e gravidade
.
Justifique sua resposta na área quadriculada.
Uma barragem tem o formato de um trapézio na sua seção longitudinal vista da montante. A altura é de 20 m e a largura é de 50 m no topo e 30 m no fundo. Calcule a força na barragem decorrente da pressão hidrostática da água, se o nível de água está a 4 m do topo da barragem.
Passo 1
O enunciado pede que calculemos a força resultante na barragem causada pela pressão hidrostática da água. Informações dadas:
Pergunta que precisamos responder: calcular a força (em newtons) na barragem decorrente da pressão hidrostática da água, justificando o procedimento.
Passo 2
Primeiro vamos interpretar a informação “nível da água está a
do topo”. Isso significa que, medindo a partir do topo da barragem para baixo, a superfície livre da água está a
. Como a altura total é
, a profundidade de água em relação ao fundo da barragem é
Ou seja, a água ocupa a região vertical desde
(fundo) até
(superfície), se adotarmos
medido para cima a partir do fundo.
Passo 3
A pressão hidrostática a uma profundidade
abaixo da superfície livre é dada por
onde
é a densidade do fluido (
),
é a aceleração da gravidade (
) e
é a distância vertical da superfície livre até o ponto considerado (em metros). Essa fórmula vem do equilíbrio estático do fluido: quanto mais fundo, maior a coluna de água acima e maior a pressão.
Passo 4
A força total horizontal que a água exerce sobre a barragem é a integral da pressão sobre a área da superfície em contato com a água:
Vamos modelar a seção longitudinal da barragem como um trapézio vertical: em cada altura
(medida a partir do fundo) a espessura horizontal da barragem é
. Tomamos uma tira horizontal de altura
; a área dessa tira é
. A pressão nessa tira, medida na direção horizontal, é
vezes a profundidade até a tira, que é
(porque a superfície está em
). Então a força horizontal sobre a tira é
. Integramos isso de
até
.
Passo 5
Precisamos da expressão de
, a largura horizontal da seção da barragem a uma altura
(entre
e
). Como a largura varia linearmente do fundo (
,
) até o topo (
,
), a função linear é
Então
para
. (Verificação rápida: em
dá
; em
dá
.)
Passo 6
A pressão em função de
(com
medido do fundo) é
porque a profundidade abaixo da superfície livre é
quando
.
Passo 7
Montamos a integral da força total sobre a porção submersa (de
até
):
Podemos tirar
fora da integral:
Passo 8
Expandimos o integrando e integramos passo a passo. Primeiro
Logo
A primitiva é
Avaliaremos de
a
:
Calculando os termos:
Portanto
Passo 9
Agora multiplicamos por
. Como
e
, temos
. Assim
Calculando numericamente,
Arredondando com três algarismos significativos:
Passo 10
Interpretação final: essa força é a resultante horizontal da pressão da coluna de água sobre a face da barragem no trecho submerso (dos
aos
). Foi obtida integrando a pressão linearmente crescente com a profundidade sobre a largura variável do trapézio.