QUESTÃO 4: (Cálculo Diferencial e Integral)
Determine a derivada da função g(x) com relação à x. Justifique sua resposta.
g(x)=\frac{e^{\left(x^{2}\right)}}{\tan (x)}

Passo 1

O que o enunciado pede: determinar a derivada de g em relação a x.
Função dada: g(x)=\frac{e^{\left(x^{2}\right)}}{\tan(x)}.
Informações relevantes que temos do enunciado: a função é uma razão (um quociente) entre o numerador e^{\left(x^{2}\right)} e o denominador \tan(x). A derivada deverá ser feita em pontos onde a função está definida (ou seja, onde \tan(x) existe e é diferente de zero).

Passo 2

Escolha do método: como g é um quociente de duas funções, o jeito direto e prático é usar a regra do quociente. Vou escrever a regra do quociente e identificar as partes. Se u(x) e v(x) são funções diferenciáveis e h(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)}, então a regra do quociente diz: h'(x)=\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{[v(x)]^{2}}.
Aqui identificamos u(x)=e^{x^{2}} e v(x)=\tan(x). No próximo passo calculamos u'(x) e v'(x).

Passo 3

Cálculo de u'(x) (numerador): \;u(x)=e^{x^{2}}.
Regra a usar: derivada da exponencial composta (regra da cadeia). A regra da cadeia diz que, se F(x)=e^{\varphi(x)}, então F'(x)=e^{\varphi(x)}\cdot\varphi'(x). Aqui \varphi(x)=x^{2} e \varphi'(x)=2x. Portanto: u'(x)=\frac{d}{dx}e^{x^{2}}=e^{x^{2}}\cdot 2x=2x\,e^{x^{2}}.

Passo 4

Cálculo de v'(x) (denominador): \;v(x)=\tan(x).
Podemos derivar \tan(x) lembrando que \tan(x)=\dfrac{\sin(x)}{\cos(x)} e usando a regra do quociente, ou recordar a identidade padrão \dfrac{d}{dx}\tan(x)=\operatorname{sec}^{2}(x). Para confirmar com um pouquinho de conta: \frac{d}{dx}\tan x=\frac{\cos x\cdot\cos x - \sin x\cdot(-\sin x)}{\cos^{2}x}=\frac{\cos^{2}x+\sin^{2}x}{\cos^{2}x}=\frac{1}{\cos^{2}x}=\operatorname{sec}^{2}x.
Logo v'(x)=\operatorname{sec}^{2}(x).

Passo 5

Aplicando a regra do quociente com u,u',v,v' já encontrados: g'(x)=\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{[v(x)]^{2}}=\frac{\bigl(2x\,e^{x^{2}}\bigr)\tan(x)-e^{x^{2}}\operatorname{sec}^{2}(x)}{\tan^{2}(x)}.
Podemos fatorar e^{x^{2}} no numerador para simplificar: g'(x)=\frac{e^{x^{2}}\bigl(2x\tan(x)-\operatorname{sec}^{2}(x)\bigr)}{\tan^{2}(x)}.

Passo 6

Simplificação trigonométrica para uma forma mais elegante e prática na prova. Trabalhamos a expressão \dfrac{2x\tan x - \operatorname{sec}^{2}x}{\tan^{2}x}. Escrevendo \tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x} e \operatorname{sec}^{2}x=\dfrac{1}{\cos^{2}x}, temos: \frac{2x\tan x-\operatorname{sec}^{2}x}{\tan^{2}x} =\frac{\displaystyle 2x\frac{\sin x}{\cos x}-\frac{1}{\cos^{2}x}}{\displaystyle\frac{\sin^{2}x}{\cos^{2}x}} =\frac{\displaystyle\frac{2x\sin x\cos x-1}{\cos^{2}x}}{\displaystyle\frac{\sin^{2}x}{\cos^{2}x}} =\frac{2x\sin x\cos x-1}{\sin^{2}x}.
Observação útil: 2\sin x\cos x=\sin(2x), então 2x\sin x\cos x = x\sin(2x). Assim uma forma compacta é \frac{2x\sin x\cos x-1}{\sin^{2}x}=\frac{x\sin(2x)-1}{\sin^{2}x}.
Portanto a derivada simplificada fica: g'(x)=e^{x^{2}}\cdot\frac{x\sin(2x)-1}{\sin^{2}(x)}.

Passo 7

Observação sobre domínio (importantíssimo na prova): a função original g(x) e, portanto, sua derivada, só fazem sentido onde \tan(x) está definida e é diferente de zero. Isso exclui pontos onde \sin(x)=0 (ou seja x=k\pi, que anulam \tan) e pontos onde \cos(x)=0 (ou seja x=\tfrac{\pi}{2}+k\pi, onde \tan é indefinida). Em todos os demais x a expressão acima vale.

Resposta

g'(x)=\frac{e^{x^{2}}\bigl(x\sin(2x)-1\bigr)}{\sin^{2}(x)}

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