QUESTÃO 4: (Cálculo Diferencial e Integral)
Determine a derivada da função
com relação à
. Justifique sua resposta.
Determine a derivada da função
Passo 1
O que o enunciado pede: determinar a derivada de
em relação a
.
Função dada:
Informações relevantes que temos do enunciado: a função é uma razão (um quociente) entre o numerador
e o denominador
. A derivada deverá ser feita em pontos onde a função está definida (ou seja, onde
existe e é diferente de zero).
Passo 2
Escolha do método: como
é um quociente de duas funções, o jeito direto e prático é usar a regra do quociente. Vou escrever a regra do quociente e identificar as partes. Se
e
são funções diferenciáveis e
, então a regra do quociente diz:
Aqui identificamos
e
. No próximo passo calculamos
e
.
Passo 3
Cálculo de
(numerador):
.
Regra a usar: derivada da exponencial composta (regra da cadeia). A regra da cadeia diz que, se
, então
. Aqui
e
. Portanto:
Passo 4
Cálculo de
(denominador):
.
Podemos derivar
lembrando que
e usando a regra do quociente, ou recordar a identidade padrão
. Para confirmar com um pouquinho de conta:
Logo
Passo 5
Aplicando a regra do quociente com
já encontrados:
Podemos fatorar
no numerador para simplificar:
Passo 6
Simplificação trigonométrica para uma forma mais elegante e prática na prova. Trabalhamos a expressão
. Escrevendo
e
, temos:
Observação útil:
, então
. Assim uma forma compacta é
Portanto a derivada simplificada fica:
Passo 7
Observação sobre domínio (importantíssimo na prova): a função original
e, portanto, sua derivada, só fazem sentido onde
está definida e é diferente de zero. Isso exclui pontos onde
(ou seja
, que anulam
) e pontos onde
(ou seja
, onde
é indefinida). Em todos os demais
a expressão acima vale.