QUESTÃO 4: (Cálculo Diferencial e Integral)
Sendo
a derivada da função
abaixo com relação à
, determine
. Justifique sua resposta.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para determinar
, justificando a resposta. Informações relevantes que o enunciado fornece e que devemos notar:
- A expressão dentro do logaritmo é
. - O logaritmo natural
exige argumento positivo, então o domínio aqui é . O ponto está dentro do domínio, então faz sentido pedir . - Nosso objetivo final: calcular a derivada
em geral (ou pelo menos em ) e então avaliar em .
Passo 2
Primeiro vamos simplificar
usando uma propriedade básica dos logaritmos que facilita muito a derivação. A propriedade é
válida sempre que
e
. Aplicando com
e
obtemos, em display:
Passo 3
Agora simplificamos
. Sabemos que a função exponencial
e o logaritmo natural
são funções inversas (no domínio positivo), ou seja,
para todo
. Assim a expressão de
fica muito simples:
Passo 4
Vamos derivar
termo a termo. Primeiro, lembre o que são as derivadas básicas que vamos usar:
- A derivada de
em relação a é , porque a inclinação da reta é constante e igual a . - A derivada de
em relação a é dada pela regra da cadeia: primeiro derivamos a função exterior em relação a , que dá , e depois multiplicamos pela derivada da função interior . Assim
No nosso caso,
, então
. Portanto
Passo 5
Aplicando as derivadas aos termos de
temos, em display,
Agora simplificamos essa expressão algébrica para uma forma mais clara. Colocando em um único quociente:
Logo obtemos a forma simplificada da derivada:
Passo 6
Finalmente, avaliamos em
. Substituindo
na expressão encontrada:
Passo 7
Resumo do procedimento (rápido e prático para a prova): use a propriedade do logaritmo para separar em diferença, simplifique
para
, aplique derivação termo a termo e a regra da cadeia em
, simplifique o resultado e, por fim, avalie no ponto pedido. Ficou
e assim
. Você conseguiu — suave e direto!