QUESTÃO 4: (Cálculo Diferencial e Integral)

Sendo g^{\prime}(x) a derivada da função g(x) abaixo com relação à x, determine g^{\prime}(2). Justifique sua resposta.
g(x)=\ln \left(\frac{e^{x}}{x+1}\right)

Passo 1

O enunciado dá a função
g(x)=\ln\!\left(\frac{e^{x}}{x+1}\right)
e pede para determinar g'(2), justificando a resposta. Informações relevantes que o enunciado fornece e que devemos notar:
  • A expressão dentro do logaritmo é \dfrac{e^{x}}{x+1}.
  • O logaritmo natural \ln(\cdot) exige argumento positivo, então o domínio aqui é \{x\mid x+1>0\}=\{x\mid x>-1\}. O ponto x=2 está dentro do domínio, então faz sentido pedir g'(2).
  • Nosso objetivo final: calcular a derivada g'(x) em geral (ou pelo menos em x=2) e então avaliar em x=2.

Passo 2

Primeiro vamos simplificar g(x) usando uma propriedade básica dos logaritmos que facilita muito a derivação. A propriedade é
\ln\!\left(\frac{A}{B}\right)=\ln(A)-\ln(B),
válida sempre que A>0 e B>0. Aplicando com A=e^{x} e B=x+1 obtemos, em display:
g(x)=\ln\!\left(e^{x}\right)-\ln\!\left(x+1\right).

Passo 3

Agora simplificamos \ln(e^{x}). Sabemos que a função exponencial e^{x} e o logaritmo natural \ln são funções inversas (no domínio positivo), ou seja,
\ln\!\left(e^{x}\right)=x,
para todo x. Assim a expressão de g fica muito simples:
g(x)=x-\ln\!\left(x+1\right).

Passo 4

Vamos derivar g(x)=x-\ln(x+1) termo a termo. Primeiro, lembre o que são as derivadas básicas que vamos usar:
  • A derivada de x em relação a x é 1, porque a inclinação da reta y=x é constante e igual a 1.
  • A derivada de \ln(u(x)) em relação a x é dada pela regra da cadeia: primeiro derivamos a função exterior \ln(u) em relação a u, que dá 1/u, e depois multiplicamos pela derivada da função interior u(x). Assim
\frac{d}{dx}\ln\!\big(u(x)\big)=\frac{u'(x)}{u(x)}.
No nosso caso, u(x)=x+1, então u'(x)=1. Portanto
\frac{d}{dx}\ln\!\left(x+1\right)=\frac{1}{x+1}.

Passo 5

Aplicando as derivadas aos termos de g(x) temos, em display,
g'(x)=\frac{d}{dx}\big(x\big)-\frac{d}{dx}\ln\!\left(x+1\right)=1-\frac{1}{x+1}.
Agora simplificamos essa expressão algébrica para uma forma mais clara. Colocando em um único quociente:
1-\frac{1}{x+1}=\frac{x+1}{x+1}-\frac{1}{x+1}=\frac{x+1-1}{x+1}=\frac{x}{x+1}.
Logo obtemos a forma simplificada da derivada:
g'(x)=\frac{x}{x+1},\qquad \text{para }x>-1.

Passo 6

Finalmente, avaliamos em x=2. Substituindo x=2 na expressão encontrada:
g'(2)=\frac{2}{2+1}=\frac{2}{3}.

Passo 7

Resumo do procedimento (rápido e prático para a prova): use a propriedade do logaritmo para separar em diferença, simplifique \ln(e^{x}) para x, aplique derivação termo a termo e a regra da cadeia em \ln(x+1), simplifique o resultado e, por fim, avalie no ponto pedido. Ficou g'(x)=\dfrac{x}{x+1} e assim g'(2)=\dfrac{2}{3}. Você conseguiu — suave e direto!

Resposta

\dfrac{2}{3}

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