QUESTÃO 3: (Cálculo Diferencial e Integral)

Determine o valor da integral definida abaixo. Justifique sua resposta.
I=\int_{0}^{1}[\operatorname{sen}(x+1)]^{2} d x

Passo 1

O enunciado dá a integral definida
I=\int_{0}^{1}[\operatorname{sen}(x+1)]^{2}\,dx.
Pergunta-se: determinar o valor de I e justificar a resposta. Informações relevantes que temos: o integrando é a função (\operatorname{sen}(x+1))^{2}, o intervalo de integração é [0,1] e a função é contínua nesse intervalo (logo a integral existe).

Passo 2

Vamos usar uma identidade trigonométrica que simplifica integrais de quadrado de seno. A identidade vem da fórmula do cosseno do ângulo duplo. Recorde:
\cos(2t)=1-2\operatorname{sen}^{2}t.
Isolando \operatorname{sen}^{2}t obtemos a identidade útil:
\operatorname{sen}^{2}t=\frac{1-\cos(2t)}{2}.
Explicação curta: esta relação é apenas uma reescrita da fórmula do cosseno do ângulo duplo; ela transforma um quadrado de seno numa combinação de uma constante e um cosseno de ângulo duplo, o que é mais fácil de integrar porque o cosseno tem antiderivada conhecida.

Passo 3

Aplicamos a identidade com t=x+1. Assim
[\operatorname{sen}(x+1)]^{2}=\frac{1-\cos(2(x+1))}{2}.
Substituindo na integral,
I=\int_{0}^{1}\frac{1-\cos(2x+2)}{2}\,dx.
Podemos separar a integral em duas partes lineares:
I=\frac{1}{2}\int_{0}^{1}1\,dx-\frac{1}{2}\int_{0}^{1}\cos(2x+2)\,dx.

Passo 4

Calcule a primeira integral (a mais simples): a integral de 1 de 0 a 1 é 1. Portanto
\frac{1}{2}\int_{0}^{1}1\,dx=\frac{1}{2}\cdot 1=\frac{1}{2}.

Passo 5

Agora calcule a segunda integral \int_{0}^{1}\cos(2x+2)\,dx. Uma forma direta é usar substituição linear: ponha u=2x+2. Então du=2\,dx ou dx=\tfrac{1}{2}\,du. Quando x=0 temos u=2 e quando x=1 temos u=4. Assim
\int_{0}^{1}\cos(2x+2)\,dx=\int_{u=2}^{u=4}\cos(u)\cdot\frac{1}{2}\,du=\frac{1}{2}\int_{2}^{4}\cos(u)\,du.
A antiderivada de \cos(u) é \sin(u). Portanto
\int_{2}^{4}\cos(u)\,du=\sin(4)-\sin(2).
Voltando,
\int_{0}^{1}\cos(2x+2)\,dx=\frac{1}{2}\big(\sin(4)-\sin(2)\big).
Multiplicando pelo fator -\tfrac{1}{2} que estava na separação da integral, obtemos a contribuição da segunda parcela:
-\frac{1}{2}\int_{0}^{1}\cos(2x+2)\,dx=-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\big(\sin(4)-\sin(2)\big)=-\frac{1}{4}\big(\sin(4)-\sin(2)\big).

Passo 6

Agora some as duas partes encontradas:
I=\frac{1}{2}-\frac{1}{4}\big(\sin(4)-\sin(2)\big).
Podemos reescrever de forma mais simpática:
I=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}\big(\sin(2)-\sin(4)\big).
Essa é a forma exata e justificada do valor da integral. (Se quiser um valor numérico aproximado, basta calcular \sin(2) e \sin(4) em radianos e substituir, mas a resposta exata acima já resolve o exercício.)

Resposta

\displaystyle I=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}\big(\sin(2)-\sin(4)\big)

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