QUESTÃO 3: (Cálculo Diferencial e Integral)
Determine o valor da integral definida abaixo. Justifique sua resposta.
Passo 1
O enunciado dá a integral definida
Pergunta-se: determinar o valor de
e justificar a resposta. Informações relevantes que temos: o integrando é a função
, o intervalo de integração é
e a função é contínua nesse intervalo (logo a integral existe).
Passo 2
Vamos usar uma identidade trigonométrica que simplifica integrais de quadrado de seno. A identidade vem da fórmula do cosseno do ângulo duplo. Recorde:
Isolando
obtemos a identidade útil:
Explicação curta: esta relação é apenas uma reescrita da fórmula do cosseno do ângulo duplo; ela transforma um quadrado de seno numa combinação de uma constante e um cosseno de ângulo duplo, o que é mais fácil de integrar porque o cosseno tem antiderivada conhecida.
Passo 3
Aplicamos a identidade com
. Assim
Substituindo na integral,
Podemos separar a integral em duas partes lineares:
Passo 4
Calcule a primeira integral (a mais simples): a integral de
de
a
é
. Portanto
Passo 5
Agora calcule a segunda integral
. Uma forma direta é usar substituição linear: ponha
. Então
ou
. Quando
temos
e quando
temos
. Assim
A antiderivada de
é
. Portanto
Voltando,
Multiplicando pelo fator
que estava na separação da integral, obtemos a contribuição da segunda parcela:
Passo 6
Agora some as duas partes encontradas:
Podemos reescrever de forma mais simpática:
Essa é a forma exata e justificada do valor da integral. (Se quiser um valor numérico aproximado, basta calcular
e
em radianos e substituir, mas a resposta exata acima já resolve o exercício.)