QUESTÃO 4: (Cálculo Diferencial e Integral)
Sabendo que
é uma função de
tal que
, determine a derivada da função
com relação à
. Justifique sua resposta.
Passo 1
O enunciado pede que a gente determine a derivada em relação a
da função
, sabendo que
. As informações relevantes são:
e que
é função de
(portanto
). Observação importante: a expressão só está bem definida quando
.
Passo 2
Estratégia (explicada passo a passo): primeiro vamos obter a derivada de
em relação a
(ou seja
), tratando
como variável independente. Para isso usamos a regra do quociente porque
com
e
. Depois aplicamos a regra da cadeia para transformar
em
multiplicando por
. Vou explicar cada regra quando usá‑la.
Passo 3
Derivada do numerador: para derivar
em relação a
usamos a regra da cadeia. Se
, então
. A derivada de
em relação a
é
, e
. Portanto
Passo 4
Derivada do denominador: para
temos imediatamente
Passo 5
Aplicando a regra do quociente: se
então
Aqui
,
,
e
. Substituindo:
Passo 6
Agora aplicamos a regra da cadeia para passar de
para
. A regra da cadeia diz que, se
depende de
e
depende de
, então
Já temos
e nos foi dado
. Logo
Passo 7
Reescrevendo de forma mais compacta:
válido para
. Isso é tudo — a derivada em relação a
.