QUESTÃO 4: (Cálculo Diferencial e Integral)

Sabendo que x é uma função de t tal que d x / d t=a, determine a derivada da função g(x(t)) com relação à t. Justifique sua resposta.
g(x(t))=\frac{\operatorname{sen}(b x)}{x}

Passo 1

O enunciado pede que a gente determine a derivada em relação a t da função g(x(t)), sabendo que \dfrac{d x}{d t}=a. As informações relevantes são:
g(x(t))=\frac{\operatorname{sen}(bx)}{x},
\frac{dx}{dt}=a\quad(\text{constante}),
e que x é função de t (portanto \;x=x(t)\;). Observação importante: a expressão só está bem definida quando x\neq0.

Passo 2

Estratégia (explicada passo a passo): primeiro vamos obter a derivada de g em relação a x (ou seja \dfrac{dg}{dx}), tratando x como variável independente. Para isso usamos a regra do quociente porque g(x)=\dfrac{f(x)}{h(x)} com f(x)=\operatorname{sen}(bx) e h(x)=x. Depois aplicamos a regra da cadeia para transformar \dfrac{dg}{dx} em \dfrac{dg}{dt} multiplicando por \dfrac{dx}{dt}. Vou explicar cada regra quando usá‑la.

Passo 3

Derivada do numerador: para derivar f(x)=\operatorname{sen}(bx) em relação a x usamos a regra da cadeia. Se u(x)=bx, então f(x)=\operatorname{sen}(u). A derivada de \operatorname{sen}(u) em relação a u é \cos(u), e \dfrac{du}{dx}=b. Portanto
\frac{d}{dx}\big(\operatorname{sen}(bx)\big)=\cos(bx)\cdot b = b\cos(bx).

Passo 4

Derivada do denominador: para h(x)=x temos imediatamente
\frac{d}{dx}(x)=1.

Passo 5

Aplicando a regra do quociente: se g(x)=\dfrac{f(x)}{h(x)} então
\frac{dg}{dx}=\frac{h(x)f'(x)-f(x)h'(x)}{[h(x)]^2}.
Aqui f(x)=\operatorname{sen}(bx), f'(x)=b\cos(bx), h(x)=x e h'(x)=1. Substituindo:
\frac{dg}{dx}=\frac{x\cdot b\cos(bx)-\operatorname{sen}(bx)\cdot 1}{x^2} =\frac{b x\cos(bx)-\operatorname{sen}(bx)}{x^2}.

Passo 6

Agora aplicamos a regra da cadeia para passar de \dfrac{dg}{dx} para \dfrac{dg}{dt}. A regra da cadeia diz que, se g depende de x e x depende de t, então
\frac{dg}{dt}=\frac{dg}{dx}\cdot\frac{dx}{dt}.
Já temos \dfrac{dg}{dx} e nos foi dado \dfrac{dx}{dt}=a. Logo
\frac{dg}{dt}= \left(\frac{b x\cos(bx)-\operatorname{sen}(bx)}{x^2}\right)\cdot a.

Passo 7

Reescrevendo de forma mais compacta:
\frac{d}{dt}\,g(x(t))=\frac{a\big(b x\cos(bx)-\operatorname{sen}(bx)\big)}{x^2},
válido para x\neq0. Isso é tudo — a derivada em relação a t.

Resposta

\frac{d}{dt}\,g(x(t))=\frac{a\big(b x\cos(bx)-\operatorname{sen}(bx)\big)}{x^2}

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