QUESTÃO 3: (Cálculo Diferencial e Integral)
Determine o valor da integral definida abaixo e escreva o resultado com 3 casas decimais. Justifique sua resposta.
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral definida
e escrever o resultado com três casas decimais. Informações dadas que vamos usar: o integrando é
e os limites de integração são
e
. A tarefa é transformar essa expressão em termos mais simples (que dêem integrais conhecidas), calcular cada uma dessas integrais e somar os resultados, justificando cada passo.
Passo 2
Primeiro passo algebraico: expandir o quadrado para separar em termos que sabemos integrar. Usamos a identidade do quadrado da soma:
Aplicando com
e
obtemos
Portanto a integral se separa em três integrais:
Explicar rapidamente: somar integrais é permitido porque a integral é linear; cada termo será tratado separadamente.
Passo 3
Calcular a primeira integral
.
Regra que usamos: a primitiva de
é
(para
). Aqui
, então uma primitiva é
. Avaliando nos limites:
Passo 4
Calcular a segunda integral
usando a técnica de integração por partes.
Fórmula da integração por partes: para funções
e
diferenciáveis,
Escolha prática (escolhemos
com fator polinomial para reduzir grau):
e
. Então
porque a primitiva de
é
.
Aplicando a fórmula:
Simplificando:
Agora avaliamos de
a
:
Portanto a contribuição desta parcela é
Passo 5
Calcular a terceira integral
usando identidade trigonométrica.
Identidade útil:
. Essa identidade transforma o quadrado do seno em combinação de constantes e cosseno de ângulo duplo, o que é fácil de integrar.
Assim
Calcule cada parte:
E
Portanto
Passo 6
Somar as três contribuições para obter uma expressão exata para
.
Temos:
Somando:
Agrupando os termos constantes:
Observação útil (opcional):
, então também se pode escrever
Essa é a forma exata (em termos de funções trigonométricas de números concretos).
Passo 7
Agora vamos ao valor numérico e ao arredondamento para três casas decimais. Usamos valores (em radianos):
Calcule cada parcela numérica:
Somando tudo:
Arredondando para três casas decimais obtemos
.