QUESTÃO 3: (Cálculo Diferencial e Integral)

Determine o valor da integral definida abaixo e escreva o resultado com 3 casas decimais. Justifique sua resposta.
I=\int_{0}^{2}[x+\operatorname{sen}(x)]^{2} \mathrm{~d} x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral definida
I=\int_{0}^{2}[x+\operatorname{sen}(x)]^{2}\,\mathrm{d}x
e escrever o resultado com três casas decimais. Informações dadas que vamos usar: o integrando é [x+\operatorname{sen}(x)]^{2} e os limites de integração são 0 e 2. A tarefa é transformar essa expressão em termos mais simples (que dêem integrais conhecidas), calcular cada uma dessas integrais e somar os resultados, justificando cada passo.

Passo 2

Primeiro passo algebraico: expandir o quadrado para separar em termos que sabemos integrar. Usamos a identidade do quadrado da soma:
(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.
Aplicando com a=x e b=\operatorname{sen}(x) obtemos
[x+\operatorname{sen}(x)]^{2}=x^{2}+2x\operatorname{sen}(x)+\operatorname{sen}^{2}(x).
Portanto a integral se separa em três integrais:
I=\int_{0}^{2}x^{2}\,\mathrm{d}x \;+\; 2\int_{0}^{2}x\operatorname{sen}(x)\,\mathrm{d}x \;+\; \int_{0}^{2}\operatorname{sen}^{2}(x)\,\mathrm{d}x.
Explicar rapidamente: somar integrais é permitido porque a integral é linear; cada termo será tratado separadamente.

Passo 3

Calcular a primeira integral \displaystyle \int_{0}^{2}x^{2}\,\mathrm{d}x.
Regra que usamos: a primitiva de x^{n} é \dfrac{x^{n+1}}{n+1} (para n\neq -1). Aqui n=2, então uma primitiva é \dfrac{x^{3}}{3}. Avaliando nos limites:
\int_{0}^{2}x^{2}\,\mathrm{d}x=\left[\dfrac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{2}=\dfrac{2^{3}}{3}-\dfrac{0^{3}}{3}=\dfrac{8}{3}.

Passo 4

Calcular a segunda integral 2\displaystyle \int_{0}^{2}x\operatorname{sen}(x)\,\mathrm{d}x usando a técnica de integração por partes.
Fórmula da integração por partes: para funções u(x) e v(x) diferenciáveis,
\int u\,\mathrm{d}v = uv - \int v\,\mathrm{d}u.
Escolha prática (escolhemos u com fator polinomial para reduzir grau): u=2x e \mathrm{d}v=\operatorname{sen}(x)\,\mathrm{d}x. Então
\mathrm{d}u=2\,\mathrm{d}x,\qquad v=-\cos(x)
porque a primitiva de \operatorname{sen}(x) é -\cos(x).
Aplicando a fórmula:
2\int x\operatorname{sen}(x)\,\mathrm{d}x = uv - \int v\,\mathrm{d}u = -2x\cos(x) - \int (-\cos(x))\cdot 2\,\mathrm{d}x.
Simplificando:
2\int x\operatorname{sen}(x)\,\mathrm{d}x = -2x\cos(x) + 2\int \cos(x)\,\mathrm{d}x = -2x\cos(x) + 2\sin(x) + C.
Agora avaliamos de 0 a 2:
2\int_{0}^{2}x\operatorname{sen}(x)\,\mathrm{d}x = \big[-2x\cos(x)+2\sin(x)\big]_{0}^{2} = \big(-4\cos(2)+2\sin(2)\big) - \big(0+0\big).
Portanto a contribuição desta parcela é
-4\cos(2)+2\sin(2).

Passo 5

Calcular a terceira integral \displaystyle \int_{0}^{2}\operatorname{sen}^{2}(x)\,\mathrm{d}x usando identidade trigonométrica.
Identidade útil: \operatorname{sen}^{2}(x)=\dfrac{1-\cos(2x)}{2}. Essa identidade transforma o quadrado do seno em combinação de constantes e cosseno de ângulo duplo, o que é fácil de integrar.
Assim
\int_{0}^{2}\operatorname{sen}^{2}(x)\,\mathrm{d}x=\int_{0}^{2}\dfrac{1-\cos(2x)}{2}\,\mathrm{d}x = \dfrac{1}{2}\int_{0}^{2}1\,\mathrm{d}x - \dfrac{1}{2}\int_{0}^{2}\cos(2x)\,\mathrm{d}x.
Calcule cada parte:
\dfrac{1}{2}\int_{0}^{2}1\,\mathrm{d}x = \dfrac{1}{2}\cdot (2-0)=1.
E
\int_{0}^{2}\cos(2x)\,\mathrm{d}x = \left[\dfrac{\sin(2x)}{2}\right]_{0}^{2} = \dfrac{\sin(4)-\sin(0)}{2} = \dfrac{\sin(4)}{2}.
Portanto
\int_{0}^{2}\operatorname{sen}^{2}(x)\,\mathrm{d}x = 1 - \dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{\sin(4)}{2} = 1 - \dfrac{1}{4}\sin(4).

Passo 6

Somar as três contribuições para obter uma expressão exata para I.
Temos:
\int_{0}^{2}x^{2}\,\mathrm{d}x = \dfrac{8}{3},
2\int_{0}^{2}x\operatorname{sen}(x)\,\mathrm{d}x = -4\cos(2)+2\sin(2),
\int_{0}^{2}\operatorname{sen}^{2}(x)\,\mathrm{d}x = 1 - \dfrac{1}{4}\sin(4).
Somando:
I=\dfrac{8}{3} + \big(-4\cos(2)+2\sin(2)\big) + \Big(1 - \dfrac{1}{4}\sin(4)\Big).
Agrupando os termos constantes:
I=\dfrac{11}{3} -4\cos(2) + 2\sin(2) - \dfrac{1}{4}\sin(4).
Observação útil (opcional): \sin(4)=2\sin(2)\cos(2), então também se pode escrever
I=\dfrac{11}{3} -4\cos(2) + 2\sin(2) - \dfrac{1}{2}\sin(2)\cos(2).
Essa é a forma exata (em termos de funções trigonométricas de números concretos).

Passo 7

Agora vamos ao valor numérico e ao arredondamento para três casas decimais. Usamos valores (em radianos):
\cos(2)\approx -0{,}4161468365,\qquad \sin(2)\approx 0{,}9092974268,\qquad \sin(4)\approx -0{,}7568024953.
Calcule cada parcela numérica:
\dfrac{11}{3}\approx 3{,}6666666667,
-4\cos(2)\approx -4\cdot(-0{,}4161468365)=1{,}6645873462,
2\sin(2)\approx 2\cdot 0{,}9092974268=1{,}8185948537,
-\dfrac{1}{4}\sin(4)\approx -\dfrac{1}{4}\cdot(-0{,}7568024953)=0{,}1892006238.
Somando tudo:
I\approx 3{,}6666666667 + 1{,}6645873462 + 1{,}8185948537 + 0{,}1892006238 \approx 7{,}3390494904.
Arredondando para três casas decimais obtemos 7{,}339.

Resposta

7{,}339

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