Sendo g^{\prime}(x) a derivada da função g(x) abaixo com relação à x, determine g^{\prime}(2) e escreva o resultado com 3 casas decimais. Justifique sua resposta.
g(x)=\sqrt{\frac{\operatorname{sen}(x)}{x}}
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a derivada de g(x) em x=2 e apresentar o resultado com 3 casas decimais. As informações dadas são:
g(x)=\sqrt{\frac{\operatorname{sen}(x)}{x}}.
Precisamos calcular g'(2) e justificar o resultado, usando que as funções trigonométricas estão em radianos.
Passo 2
Primeiro reescrevo g(x) de uma forma que facilita aplicar regras de derivação:
Vou usar a regra da cadeia para a raiz (potência 1/2) e a regra do quociente para a derivada de \operatorname{sen}(x)/x. Vou também recordar as derivadas básicas que usarei:
Posso simplificar usando \left(\dfrac{\operatorname{sen}(x)}{x}\right)^{-1/2}=\dfrac{1}{\sqrt{\operatorname{sen}(x)/x}}. Isso dá uma forma mais compacta:
Opcionalmente, escrevendo o denominador de outra forma (usando \sqrt{\dfrac{\operatorname{sen}(x)}{x}}=\dfrac{\sqrt{\operatorname{sen}(x)}}{\sqrt{x}}) obtemos
Arredondando para 3 casas decimais (vírgula decimal, conforme convenção do enunciado), obtemos -0,323.
Passo 7
Resumo rápido do método para a prova: escreva g como potência (\operatorname{sen}x/x)^{1/2}, aplique a regra da cadeia para a raiz e a regra do quociente para \operatorname{sen}x/x. Substitua x=2 e calcule numericamente com cuidado—lembre-se de usar radianos para seno e cosseno.