QUESTÃO 4: (Cálculo Diferencial e Integral)

Sendo g^{\prime}(x) a derivada da função g(x) abaixo com relação à x, determine g^{\prime}(2) e escreva o resultado com 3 casas decimais. Justifique sua resposta.
g(x)=\sqrt{\frac{\operatorname{sen}(x)}{x}}

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a derivada de g(x) em x=2 e apresentar o resultado com 3 casas decimais. As informações dadas são:
g(x)=\sqrt{\frac{\operatorname{sen}(x)}{x}}.
Precisamos calcular g'(2) e justificar o resultado, usando que as funções trigonométricas estão em radianos.

Passo 2

Primeiro reescrevo g(x) de uma forma que facilita aplicar regras de derivação:
g(x)=\left(\frac{\operatorname{sen}(x)}{x}\right)^{1/2}.
Vou usar a regra da cadeia para a raiz (potência 1/2) e a regra do quociente para a derivada de \operatorname{sen}(x)/x. Vou também recordar as derivadas básicas que usarei:
\frac{d}{dx}\operatorname{sen}(x)=\operatorname{cos}(x), \qquad \frac{d}{dx}x=1.

Passo 3

Aplico a regra da cadeia à potência 1/2. Se h(x)=\big(u(x)\big)^{1/2} então
h'(x)=\frac{1}{2}\big(u(x)\big)^{-1/2}\,u'(x).
No nosso caso u(x)=\dfrac{\operatorname{sen}(x)}{x}. Logo
g'(x)=\frac{1}{2}\left(\frac{\operatorname{sen}(x)}{x}\right)^{-1/2}\cdot\left(\frac{d}{dx}\frac{\operatorname{sen}(x)}{x}\right).

Passo 4

Agora calculo a derivada do quociente u(x)=\dfrac{\operatorname{sen}(x)}{x} usando a regra do quociente. Se u(x)=\dfrac{p(x)}{q(x)} então
u'(x)=\frac{p'(x)q(x)-p(x)q'(x)}{q(x)^2}.
Aqui p(x)=\operatorname{sen}(x) e q(x)=x. Assim
p'(x)=\operatorname{cos}(x),\qquad q'(x)=1,
e
\frac{d}{dx}\frac{\operatorname{sen}(x)}{x}=\frac{\operatorname{cos}(x)\cdot x-\operatorname{sen}(x)\cdot 1}{x^{2}} =\frac{x\operatorname{cos}(x)-\operatorname{sen}(x)}{x^{2}}.

Passo 5

Substituo esse resultado em g'(x):
g'(x)=\frac{1}{2}\left(\frac{\operatorname{sen}(x)}{x}\right)^{-1/2}\cdot\frac{x\operatorname{cos}(x)-\operatorname{sen}(x)}{x^{2}}.
Posso simplificar usando \left(\dfrac{\operatorname{sen}(x)}{x}\right)^{-1/2}=\dfrac{1}{\sqrt{\operatorname{sen}(x)/x}}. Isso dá uma forma mais compacta:
g'(x)=\frac{x\operatorname{cos}(x)-\operatorname{sen}(x)}{2x^{2}\sqrt{\dfrac{\operatorname{sen}(x)}{x}}}.
Opcionalmente, escrevendo o denominador de outra forma (usando \sqrt{\dfrac{\operatorname{sen}(x)}{x}}=\dfrac{\sqrt{\operatorname{sen}(x)}}{\sqrt{x}}) obtemos
g'(x)=\frac{x\operatorname{cos}(x)-\operatorname{sen}(x)}{2x^{3/2}\sqrt{\operatorname{sen}(x)}}.
As duas formas são equivalentes; vou usar a primeira para a avaliação numérica.

Passo 6

Agora avalio em x=2. Primeiro calculo valores trigonométricos (em radianos):
\operatorname{sen}(2)\approx 0,9092974268,\qquad \operatorname{cos}(2)\approx -0,4161468365.
Calculo o numerador:
x\operatorname{cos}(x)-\operatorname{sen}(x)\Big|_{x=2} =2\cdot\operatorname{cos}(2)-\operatorname{sen}(2) \approx 2\cdot(-0,4161468365)-0,9092974268 \approx -1,7415910999.
Calculo o fator \sqrt{\dfrac{\operatorname{sen}(2)}{2}}:
\frac{\operatorname{sen}(2)}{2}\approx \frac{0,9092974268}{2}=0,4546487134, \qquad \sqrt{0,4546487134}\approx 0,6741570260.
O denominador de g'(2) é 2x^{2}\sqrt{\dfrac{\operatorname{sen}(x)}{x}} com x=2, isto é
2\cdot 2^{2}\cdot \sqrt{\frac{\operatorname{sen}(2)}{2}} =8\cdot 0,6741570260\approx 5,393256208.
Portanto
g'(2)\approx\frac{-1,7415910999}{5,393256208}\approx -0,322819.
Arredondando para 3 casas decimais (vírgula decimal, conforme convenção do enunciado), obtemos -0,323.

Passo 7

Resumo rápido do método para a prova: escreva g como potência (\operatorname{sen}x/x)^{1/2}, aplique a regra da cadeia para a raiz e a regra do quociente para \operatorname{sen}x/x. Substitua x=2 e calcule numericamente com cuidado—lembre-se de usar radianos para seno e cosseno.

Resposta

-0,323

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