QUESTÃO 3: (Cálculo Diferencial e Integral)
Determine o valor da integral definida abaixo e escreva o resultado na forma decimal com precisão de três casas. Justifique sua resposta.
Passo 1
O que o enunciado pede e quais são os dados:\n
Pede-se calcular a integral definida
Pede-se calcular a integral definida
Dados importantes extraídos do enunciado:\n
- O integrando é a função
(arctangente de ).\n - Os limites de integração são
(inferior) e (superior).\n - Queremos o valor numérico final com três casas decimais. \n
Não vamos resolver ainda; agora que sabemos exatamente o que pedir, partimos para a técnica.
Passo 2
Apresentando a ferramenta principal: integração por partes.\n
A fórmula de integração por partes é
A fórmula de integração por partes é
onde
e
são funções de
,
é a diferencial associada a
e
é a diferencial de
.\n
O motivo para usar integração por partes aqui: não tem uma primitiva elementar direta fácil, mas sua derivada é simples e podemos escolher
para reduzir o problema. Antes de aplicar, lembro a derivada útil:
O motivo para usar integração por partes aqui:
Passo 3
Escolha das funções
e
.\n
Seguindo a ideia acima, tomamos
Seguindo a ideia acima, tomamos
Justificativa simples:
tem derivada simples
e
tem primitiva
, o que geralmente simplifica integrais deste tipo.
Passo 4
Calcular
e
, aplicar integração por partes e escrever a integral definida.\n
Derivando e integrando
:
Derivando
Aplicando a fórmula de integração por partes na integral definida de
a
:
Agora avaliamos o primeiro termo e tratamos a segunda integral.
Passo 5
Avaliar o termo de fronteira e calcular a integral
.\n
Avaliação do termo de fronteira:
Avaliação do termo de fronteira:
Sabemos que
. Logo o primeiro termo é
.\n
Agora a integral restante:
Agora a integral restante:
Fazemos a substituição
. Então
, isto é,
.\n
Quando temos
. Quando
temos
.\n
Substituindo:
Quando
Substituindo:
A primitiva de
é
, logo
Passo 6
Juntar os resultados e obter a forma exata; depois aproximar numericamente com três casas decimais.\n
Da Passo 4 e Passo 5 temos:
Da Passo 4 e Passo 5 temos:
Agora vamos calcular numericamente com precisão de três casas decimais.\n
Valores aproximados conhecidos (usados sem calculadora avançada aqui como padrão): e
.\n
Calcule cada parcela:
Valores aproximados conhecidos (usados sem calculadora avançada aqui como padrão):
Calcule cada parcela:
Subtraindo:
Arredondando para três casas decimais, o valor fica
. Você pode confiar: a primeira casa a cortar é a quarta decimal
, então arredonda para cima.