QUESTÃO 3: (Cálculo Diferencial e Integral)

Determine o valor da integral definida abaixo e escreva o resultado na forma decimal com precisão de três casas. Justifique sua resposta.
I=\int_{0}^{1} \tan ^{-1}(x) \mathrm{d} x

Passo 1

O que o enunciado pede e quais são os dados:\n
Pede-se calcular a integral definida
I=\int_{0}^{1} \tan^{-1}(x)\,\mathrm{d}x.
Dados importantes extraídos do enunciado:\n
  • O integrando é a função \tan^{-1}(x) (arctangente de x).\n
  • Os limites de integração são 0 (inferior) e 1 (superior).\n
  • Queremos o valor numérico final com três casas decimais. \n
    Não vamos resolver ainda; agora que sabemos exatamente o que pedir, partimos para a técnica.

Passo 2

Apresentando a ferramenta principal: integração por partes.\n
A fórmula de integração por partes é
\int u\,\mathrm{d}v = uv - \int v\,\mathrm{d}u,
onde u e v são funções de x, \mathrm{d}v é a diferencial associada a v e \mathrm{d}u é a diferencial de u.\n
O motivo para usar integração por partes aqui: \tan^{-1}(x) não tem uma primitiva elementar direta fácil, mas sua derivada é simples e podemos escolher \mathrm{d}v=\mathrm{d}x para reduzir o problema. Antes de aplicar, lembro a derivada útil:
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\tan^{-1}(x)=\frac{1}{1+x^{2}}.

Passo 3

Escolha das funções u e \mathrm{d}v.\n
Seguindo a ideia acima, tomamos
u=\tan^{-1}(x),\qquad \mathrm{d}v=\mathrm{d}x.
Justificativa simples: u tem derivada simples \mathrm{d}u=\dfrac{\mathrm{d}x}{1+x^{2}} e \mathrm{d}v=\mathrm{d}x tem primitiva v=x, o que geralmente simplifica integrais deste tipo.

Passo 4

Calcular \mathrm{d}u e v, aplicar integração por partes e escrever a integral definida.\n
Derivando u e integrando \mathrm{d}v:
\mathrm{d}u=\frac{\mathrm{d}x}{1+x^{2}},\qquad v=x.
Aplicando a fórmula de integração por partes na integral definida de 0 a 1:
\int_{0}^{1}\tan^{-1}(x)\,\mathrm{d}x=\Big[ x\tan^{-1}(x)\Big]_{0}^{1}-\int_{0}^{1}x\cdot\frac{1}{1+x^{2}}\,\mathrm{d}x.
Agora avaliamos o primeiro termo e tratamos a segunda integral.

Passo 5

Avaliar o termo de fronteira e calcular a integral \displaystyle\int_{0}^{1}\frac{x}{1+x^{2}}\,\mathrm{d}x.\n
Avaliação do termo de fronteira:
\Big[x\tan^{-1}(x)\Big]_{0}^{1}=1\cdot\tan^{-1}(1)-0\cdot\tan^{-1}(0)=\tan^{-1}(1).
Sabemos que \tan^{-1}(1)=\dfrac{\pi}{4}. Logo o primeiro termo é \dfrac{\pi}{4}.\n
Agora a integral restante:
\int_{0}^{1}\frac{x}{1+x^{2}}\,\mathrm{d}x.
Fazemos a substituição t=1+x^{2}. Então \mathrm{d}t=2x\,\mathrm{d}x, isto é, x\,\mathrm{d}x=\dfrac{1}{2}\mathrm{d}t.\n
Quando x=0 temos t=1. Quando x=1 temos t=2.\n
Substituindo:
\int_{0}^{1}\frac{x}{1+x^{2}}\,\mathrm{d}x=\int_{t=1}^{t=2}\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{t}\,\mathrm{d}t=\frac{1}{2}\int_{1}^{2}\frac{1}{t}\,\mathrm{d}t.
A primitiva de 1/t é \ln(t), logo
\frac{1}{2}\int_{1}^{2}\frac{1}{t}\,\mathrm{d}t=\frac{1}{2}\big[\ln(t)\big]_{1}^{2}=\frac{1}{2}\ln(2).

Passo 6

Juntar os resultados e obter a forma exata; depois aproximar numericamente com três casas decimais.\n
Da Passo 4 e Passo 5 temos:
I=\int_{0}^{1}\tan^{-1}(x)\,\mathrm{d}x=\frac{\pi}{4}-\frac{1}{2}\ln(2).
Agora vamos calcular numericamente com precisão de três casas decimais.\n
Valores aproximados conhecidos (usados sem calculadora avançada aqui como padrão): \pi\approx 3{,}1415926536 e \ln(2)\approx 0{,}6931471806.\n
Calcule cada parcela:
\frac{\pi}{4}\approx\frac{3{,}1415926536}{4}=0{,}7853981634,
\frac{1}{2}\ln(2)\approx\frac{0{,}6931471806}{2}=0{,}3465735903.
Subtraindo:
I\approx 0{,}7853981634-0{,}3465735903=0{,}4388245731.
Arredondando para três casas decimais, o valor fica 0{,}439. Você pode confiar: a primeira casa a cortar é a quarta decimal 8, então arredonda para cima.

Resposta

\;0{,}439

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